Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiên đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dưới đây:

Câu 210619: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 4cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiên đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dưới đây:

A. \(l\approx 58,67cm\)

B. \(l\approx58,80cm\)

C. \(l\approx 59,98cm\)

Câu hỏi : 210619

Quảng cáo

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
– Phương pháp: Trải hai lần mặt xung quanh của cốc lên mặt phẳng. Quãng đường ngắn nhất chính là đường thẳng con kiến đi từ A đến B.

– Cách giải:

Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, bán kính miệng cốc và chiều cao của cốc, \(\alpha \) là góc kí hiệu như hình vẽ.

Ta trải hai lần mặt xung quanh của cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt như hình vẽ với cung nhỏ \(BB'=4\pi b\) và cung lớn \(AA'=4\pi a\)

(\(B\equiv B';A\equiv A'\). Độ dài ngắn nhất của đường đi con kiến là độ dài đoạn thẳng l = AB’

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB’:\(l=AB'=\sqrt{O{{A}^{2}}+OB{{'}^{2}}-2.OA.OB'.cos2\alpha }(1)\); \(AB=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{4\pi a}{4\pi b}=\frac{l\left( \overset\frown{BB'} \right)}{l\left( \overset\frown{AA'} \right)}=\frac{OA}{OB}=\frac{OB+BA}{OB}=1+\frac{AB}{OB}=1+\frac{AB}{\frac{2\pi b}{\alpha }}=1+\frac{AB\alpha }{2\pi b}\)

\(\Rightarrow \alpha =\frac{2(a-b)\pi }{AB}=\frac{2(a-b)\pi }{\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\frac{2\pi }{\sqrt{401}}(2)\)

\(\frac{AB}{OB}=\frac{a}{b}-1\Rightarrow OB=OB'=\frac{b.\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}}{a-b}=4\sqrt{401}(3)\)

\(OA=OB+BA=\frac{b.\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}}{a-b}+\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}=4\sqrt{401}+\sqrt{401}=5\sqrt{401}. \)

Thế vào biểu thức (1) ta được: \(l\approx 58,80(cm)\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.