Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song

Câu hỏi số 212558:

Vận dụng cao

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với AB và CD cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:

A. \({1 \over 2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

B. \({1 \over 2}\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\)

C. \({1 \over 2}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)

D. \({1 \over 4}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212558

Phương pháp giải

- Đưa về cùng mặt phẳng.

- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.

- Điều kiện để thiết diện trở thành hình thoi.

- Công thức tính diện tích hình thoi \(S = {1 \over 2}{d_1}{d_2},\) trong đó \({d_1},{d_2}\) là độ dài hai đường chéo của hình thoi.

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh AD, AC, CB, BD theo thứ tự tại M, N, P, Q.

\(\left\{ \matrix{ CD//\left( \alpha \right),CD \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN//CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)

Tương tự \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ//CD\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)

Khi đó: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ//AB,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP//AB.\)

Hình bình hành MNPQ là thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\).

Theo định lí Ta-let ta có:

\({{NP} \over {AB}} = {{CN} \over {CA}} \Rightarrow NP = {a \over c}CN,\,\,{{MN} \over {CD}} = {{AN} \over {AC}} \Rightarrow MN = {a \over b}AN.\)

Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP\( \Rightarrow \) CN = AN hay N là trung điểm của AC. Từ đó suy ra M, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD.

Ta có:

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ D{N^2} = {{A{D^2} + D{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr B{N^2} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow DN = BN \cr} \)

\( \Rightarrow \Delta NBD\) cân tại N. Lại có Q là trung điểm của BD nên \(NQ \bot BD.\)

Do đó ta có: \(N{Q^2} = N{B^2} - B{Q^2} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}\).

Tương tự ta tính được \(M{P^2} = {{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}.\)

Vậy \({S_{MNPQ}} = {1 \over 2}MP.NQ = {1 \over 2}\sqrt {{{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}.{{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}} = {1 \over 4}\sqrt {\left( {{b^2} + {a^2} - {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)} \).

Chọn D.

Chú ý khi giải

Học sinh thường quên hoặc nhầm lẫn về dấu trong công thức tính độ dài đường trung tuyến khi biết 3 cạnh của tam giác.

Tam giác ABC như hình vẽ:

Thì \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.