Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với AB và CD cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.
- Điều kiện để thiết diện trở thành hình thoi.
- Công thức tính diện tích hình thoi \(S = {1 \over 2}{d_1}{d_2},\) trong đó \({d_1},{d_2}\) là độ dài hai đường chéo của hình thoi.
Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh AD, AC, CB, BD theo thứ tự tại M, N, P, Q.
\(\left\{ \matrix{ CD//\left( \alpha \right),CD \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN//CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)
Tương tự \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ//CD\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)
Khi đó: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ//AB,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP//AB.\)
Hình bình hành MNPQ là thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\).
Theo định lí Ta-let ta có:
\({{NP} \over {AB}} = {{CN} \over {CA}} \Rightarrow NP = {a \over c}CN,\,\,{{MN} \over {CD}} = {{AN} \over {AC}} \Rightarrow MN = {a \over b}AN.\)
Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP\( \Rightarrow \) CN = AN hay N là trung điểm của AC. Từ đó suy ra M, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD.
Ta có:
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ D{N^2} = {{A{D^2} + D{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr B{N^2} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow DN = BN \cr} \)
\( \Rightarrow \Delta NBD\) cân tại N. Lại có Q là trung điểm của BD nên \(NQ \bot BD.\)
Do đó ta có: \(N{Q^2} = N{B^2} - B{Q^2} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}\).
Tương tự ta tính được \(M{P^2} = {{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}.\)
Vậy \({S_{MNPQ}} = {1 \over 2}MP.NQ = {1 \over 2}\sqrt {{{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}.{{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}} = {1 \over 4}\sqrt {\left( {{b^2} + {a^2} - {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)} \).
Chọn D.
Học sinh thường quên hoặc nhầm lẫn về dấu trong công thức tính độ dài đường trung tuyến khi biết 3 cạnh của tam giác.
Tam giác ABC như hình vẽ:
Thì \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
