Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right),\) (\(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) ). Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right).\) Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 212846: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right),\) (\(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) ). Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right).\) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right).\)

B. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right).\)

C. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \( (-1; 0) \).

D. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( 0;2 \right).\)

Câu hỏi : 212846

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hàm số \(g\) đồng biến ( tương ứng nghịch biến) trên \(D\) khi \(g'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D\) (tương ứng \(g'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D\)).

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ne - 1\end{array} \right.,\,\,f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2.\)

Ta có \(g'\left( x \right)=2xf'\left( {{x}^{2}}-2 \right).\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến khi và chỉ khi

\(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow xf'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 < 2\\{x^2} - 2 \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right).\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến khi và chỉ khi

\(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow xf'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 < 2\\{x^2} - 2 \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\0 < x < 2\end{array} \right..\)

Như vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và \(\left( 0;2 \right).\)

Vậy đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Chú ý:
Sai lầm. Trong bài cho đồ thị hàm số nhưng học sinh có thể nhầm thành đồ thị hàm Một lỗi khác là học sinh không nhớ hoặc nhớ nhầm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.