Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Đường cong trong hình vẽ bên là

Câu hỏi số 212846:

Vận dụng

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}.\) Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right),\) (\(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) ). Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-2 \right).\) Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right).\)

B. Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty \right).\)

C. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \( (-1; 0) \).

D. Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( 0;2 \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212846

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hàm số \(g\) đồng biến ( tương ứng nghịch biến) trên \(D\) khi \(g'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D\) (tương ứng \(g'\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in D\)).

Giải chi tiết

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x \ne - 1\end{array} \right.,\,\,f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > 2.\)

Ta có \(g'\left( x \right)=2xf'\left( {{x}^{2}}-2 \right).\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến khi và chỉ khi

\(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow xf'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 < 2\\{x^2} - 2 \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Như vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 2;+\infty \right).\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến khi và chỉ khi

\(g'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow xf'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 < 2\\{x^2} - 2 \ne - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\0 < x < 2\end{array} \right..\)

Như vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và \(\left( 0;2 \right).\)

Vậy đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Sai lầm. Trong bài cho đồ thị hàm số nhưng học sinh có thể nhầm thành đồ thị hàm Một lỗi khác là học sinh không nhớ hoặc nhớ nhầm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.