Hàm số \(y = {\left( {x + m} \right)^3} + {\left( {x + n} \right)^3} - {x^3}\)(tham số \(m,n\)) đồng biến

Câu hỏi số 213424:

Vận dụng

Hàm số \(y = {\left( {x + m} \right)^3} + {\left( {x + n} \right)^3} - {x^3}\)(tham số \(m,n\)) đồng biến trên khoảng \(\left( {-\infty ; + \infty } \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - m - n\) bằng

A. \( - \dfrac{1}{{16}}\)

B. \(-16\)

C. \(4\)

D. \(\dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213424

Phương pháp giải

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\left( {y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\)

+ Dựa vào điều kiện đó để tìm GTNN của \(P\)

Giải chi tiết

Cách giải

Có \(y' = 3{\left( {x + m} \right)^2} + 3{\left( {x + n} \right)^2} - 3{x^2} = 3\left[ {{x^2} + 2\left( {m + n} \right)x + {m^2} + {n^2}} \right]\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m + n} \right)x + {m^2} + {n^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + n} \right)^2} - \left( {{m^2} + {n^2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} \ge {\left( {m + n} \right)^2}\end{array}\)

Khi đó ta có \(P \geqslant 4{\left( {m + n} \right)^2} - \left( {m + n} \right) = {\left( {2m + 2n - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{1}{{16}} \geqslant - \dfrac{1}{{16}}\)

Kiểm tra thấy dấu “=” xảy ra

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2} = {\left( {m + n} \right)^2}\\m + n = \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n = \dfrac{1}{8}\\mn = 0\end{array} \right.\)

(tồn tại \(m,n\) thỏa mãn)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.