Cho \(a+b+c=2,\,\,a,b,c>0.\) Khi đó giá trị lớn nhất của \(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\)

Câu hỏi số 213482:

Vận dụng

Cho \(a+b+c=2,\,\,a,b,c>0.\) Khi đó giá trị lớn nhất của \(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\) là:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213482

Phương pháp giải

Phương pháp:

Thay \(a+b+c=2\) vào \(Q\) rồi biến đổi để \(Q\) có chứa các hạng tử trung bình nhân rồi sử dụng kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Thay \(a+b+c=2\) vào \(Q\) ta nhận được

\(\begin{align} & Q=\sqrt{\left( a+b+c \right)a+bc}+\sqrt{\left( a+b+c \right)b+ac}+\sqrt{\left( a+b+c \right)c+ab} \\ & \,\,\,\,\,=\sqrt{{{a}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{b}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{c}^{2}}+ab+ac+bc}\,\,\left( 1 \right) \\ & \,\,\,\,\,=\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}. \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \sqrt{a+b},\sqrt{a+c} \right)\) ta nhận được \(\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( a+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Chứng minh tương tự ta có \(\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right),\)

\(\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+c \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 4 \right).\)

Cộng vế theo vế \(\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta nhận được

\(\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le 2\left( a+b+c \right)=4\,\,\left( 5 \right).\)

Thay \(\left( 5 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(Q\le 4.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\ & \sqrt{a+c}=\sqrt{b+c} \\ & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\ & a+b+c=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}.\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link