Cho \(a,b\ge 0\) thỏa mãn \(a+b\le 2.\) Giả sử rằng \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\frac{8}{7}.\) Khi

Câu hỏi số 213485:

Vận dụng

Cho \(a,b\ge 0\) thỏa mãn \(a+b\le 2.\) Giả sử rằng \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\frac{8}{7}.\) Khi đó điều nào sau đây là đúng:

A. \(a=\frac{1}{4},b=\frac{7}{4}\)

B. \(a=1,b=1\)

C. \(a=\frac{3}{4},b=\frac{5}{4}\)

D. \(a=0,b=2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213485

Phương pháp giải

Phương pháp:

Phối hợp hai kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và từ trung bình nhân sang trung bình cộng để đánh giá \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\ge \frac{8}{7}.\) Từ đó dùng điều kiện xảy ra dấu “=” để kết luận.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta có : \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}=\left( 1+\frac{1}{1+a} \right)+\left( -1+\frac{2}{1+2b} \right)=\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+2b}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+\frac{1}{2}}\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( \frac{1}{a+1},\frac{1}{b+\frac{1}{2}} \right)\) ta nhận được

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{b+\frac{1}{2}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{1+a}.\frac{1}{b+\frac{1}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}}\,\,\,\left( 2 \right).\)

Mặt khác từ bất đẳng thức Cô-si ta cũng có \(\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}\le \frac{\left( a+1 \right)+\left( b+\frac{1}{2} \right)}{2}=\frac{\left( a+b \right)+\frac{3}{2}}{2}\le \frac{7}{4}.\)

Do đó \(\frac{1}{\sqrt{\left( a+1 \right)\left( b+\frac{1}{2} \right)}}\ge \frac{4}{7}\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 3 \right)\),\(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) ta nhận được: \(\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\ge \frac{8}{7}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + a}} = \frac{1}{{b + \frac{1}{2}}}\\\sqrt {a + 1} = \sqrt {b + \frac{1}{2}} \\a + b = 2\\a,b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + \frac{1}{2}\\a + b = 2\\a,b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{4}\\b = \frac{5}{4}\end{array} \right..\)

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link