Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+3i|=\sqrt{13}\) và \(\frac{z}{z+2}\) là số thuần

Câu hỏi số 213832:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+3i|=\sqrt{13}\) và \(\frac{z}{z+2}\) là số thuần ảo?

A. 0

B. 2

C. vô số

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213832

Phương pháp giải

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\).

Số phức \(z=a+bi\) là số thuần ảo nếu \(a=0\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z=a+bi\left( z\ne -2 \right)\) , ta có \(|z+3i|=\sqrt{13}\Leftrightarrow |a+bi+3i|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}=13\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b=4\) (1)

Mặt khác \(\frac{z}{z+2}=\frac{a+bi}{a+bi+2}=\frac{(a+bi)(a+2-bi)}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{({{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}})+2bi}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\frac{z}{z+2}\) là số thuần ảo khi \({{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}=0\) (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được \(6b-2a=4\Leftrightarrow a+2=3b\)

\(\left( 2 \right) \Rightarrow a\left( {a + 2} \right) + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a.3b + {b^2} = 0 \Leftrightarrow b\left( {3a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = - 3a\end{array} \right.\)

Với \(b=0\Rightarrow a=-2\Rightarrow z=-2\) (loại do \(z\ne -2\)).

Với \(b = - 3a \Rightarrow a + 2 = 3.\left( { - 3a} \right) \Leftrightarrow a = - \frac{1}{5} \Rightarrow b = \frac{3}{5} \Rightarrow z = - \frac{1}{5} + \frac{3}{5}b\) (thỏa mãn)

Vậy có 1 số phức thỏa mãn bài toán.

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai công thức tính mô đun số phức.

- Giải sai hệ phương trình tìm \(a,b\).

- Không kết hợp điều kiện để loại nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.