Số phức \(z=x+yi\) thỏa mãn \(|z-2-4i|=|z-2i|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất là:

Câu hỏi số 213834:

Vận dụng

A. \(z=2+2i\)

B. \(z=2-2i\)

C. \(z=1+i\)

D. \(z=1-i\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213834

Phương pháp giải

Gọi số phức cần tìm là \(z=x+yi\left( x,y\in R \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm mối liên hệ \(x,y\).

Tìm GTNN của \(\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\).

Giải chi tiết

Từ điều kiện \(|z-2-4i|=|z-2i|\) ta có

\(|x+yi-2-4i|=|x+yi-2i| \\ \Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}={{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow -4x+4-8y+16=-4y+4\Leftrightarrow -4x-4y+16=0 \\ \Leftrightarrow x+y=4\Leftrightarrow x=4-y\)

Ta có

\(|z|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{(4-y)}^{2}}+{{y}^{2}}} \\=\sqrt{2{{y}^{2}}-8y+16}=\sqrt{2{{(y-2)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}\)

Vậy \(\min \left| z \right|=2\sqrt{2}\) khi \(y-2=0\) hay \(y=2\Rightarrow x=2\Rightarrow z=2+2i\).

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai công thức tính mô đun số phức.

- Sau khi tìm được mối liên hệ \(x,y\) thì không biết cách tìm GTNN của \(\left| z \right|\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.