Cho \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=1\) và \(|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}|=3\). Tính \(\max

Câu hỏi số 213917:

Vận dụng

Cho \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=1\) và \(|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}|=3\). Tính \(\max T=|{{z}_{1}}|+|{{z}_{2}}|\)

A. \(8\)

B. \(10\)

C. \(4\)

D. \(\sqrt{10}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213917

Phương pháp giải

Gọi \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i\),\({{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i\), thay vào biểu thức đề bài tìm mối liên hệ \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{y}_{1}},{{y}_{2}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki \({{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) để đánh giá \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\).

Giải chi tiết

Giả sử \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i\),\({{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i\).

Theo giả thiết \(|{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|=1\) có

\({{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}^{2}}=1\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{y}_{2}}=1\) (1)

Theo giả thiết \(|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}|=3\) có

\({{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}+{{y}_{2}})}^{2}}=9\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+2{{x}_{1}}{{y}_{2}}=9\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=5\)

Ta có

\(T=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

\(T\le \sqrt{2.(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2})}=\sqrt{10}\)

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.

- Tính sai mô đun số phức.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.