Cho số phức \(z=x+yi\) thỏa mãn \(|z-2-4i|=|z-2i|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \(N={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)

Câu 213918: Cho số phức \(z=x+yi\) thỏa mãn \(|z-2-4i|=|z-2i|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \(N={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)

A. 8

B. 10

C. 16

D. 26

Câu hỏi : 213918

Phương pháp giải:

Gọi \(z=x+yi\), thay vào điều kiện bài cho tìm mối liên hệ \(x,y\) rồi biểu diễn \(y\) theo \(x\) hoặc \(x\) theo \(y\).

Áp dụng phương pháp thế: thay biểu thức của \(x\) hoặc \(y\) vừa có được vào \(\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) để tìm GTNN \(\Rightarrow x,y\Rightarrow N\).

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Từ điều kiện \(|z-2-4i|=|z-2i|\) ta có

\(|x+yi-2-4i|=|x+yi-2i|\Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}={{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow -4x+4-8y+16=-4y+4\Leftrightarrow -4x-4y+16=0\Leftrightarrow x+y=4\Leftrightarrow x=4-y\)

Ta có

\(|z|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{(4-y)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{2{{y}^{2}}-8y+16}=\sqrt{2{{(y-2)}^{2}}+8}\ge 2\sqrt{2}\)

Vậy \(\min \left| z \right|=2\sqrt{2}\) khi \(y-2=0\) hay \(y=2\). Suy ra \(x=2\). Do đó \(N={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\)

Chú ý:
Sai lầm thường gặp:

- Tính sai mô đun số phức.

- Đánh giá sai GTNN của \(\left| z \right|\) dẫn đến tìm sai \(x,y\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.