Cặp số \((x;y)\) với \(x>1\) nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=7 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y=8 \\\end{align} \right.\)?

Câu 214409: Cặp số \((x;y)\) với \(x>1\) nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=7 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y=8 \\\end{align} \right.\)?

A. \(\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=-1 \\\end{align} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Câu hỏi : 214409

Phương pháp giải:

Đặt \(\left\{\begin{align} & x+y=u \\ & xy=v \\\end{align} \right.\) sau đó ta biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn \(u,v\)

Rút \(v\) theo \(u\) từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) để giải phương trình bậc hai 1 ẩn \(u\)

Tìm được nghiệm \(u,v\) thay lại tìm nghiệm \(x,y\)

Cách làm:

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 7\\{x^2} + {y^2} + x + y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - xy = 7\\{\left( {x + y} \right)^2} + \left( {x + y} \right) - 2xy = 8\end{array} \right.\)

Đặt:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\xy = v\end{array} \right.\left( {{u^2} \ge 4v} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} - v = 7\\{u^2} + u - 2v = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\{u^2} + u - 2\left( {{u^2} - 7} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\{u^2} - u - 6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\\left( {u - 3} \right)\left( {u + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\\left[ \begin{array}{l}u = - 2\\u = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = - 2\\v = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Nếu

\(\left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x, y\) là nghiệm của phương trình: \(T^2 - 3T + 2 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Nếu:

\(\left\{ \begin{array}{l}u = - 2\\v = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\xy = - 3\end{array} \right. \Rightarrow x,y\) \(x, y\) là nghiệm của phương trình: \(T^2 +2T -3= 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = -3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = -3\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây