Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& \frac{1}{xy}=\frac{x}{z}+1 \\ &

Câu hỏi số 214481:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}& \frac{1}{xy}=\frac{x}{z}+1 \\ & \frac{1}{yz}=\frac{y}{x}+1 \\ & \frac{1}{zx}=\frac{z}{y}+1 \\ \end{align} \right.\). Số nghiệm của hệ phương trình trên là:

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. Vô nghiệm

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214481

Phương pháp giải

Phương pháp giải: Vì \(3\) số có vai trò giống nhau nên ta có thể giả sử \(x\ge y\) sau đó chia từng vế với vế của các phương trình cho nhau, để chứng minh được hệ có nghiệm \(x=y=z\)

Giải chi tiết

Cách làm: Điều kiện \(xyz\ne 0\). Nhận thấy nếu một trong ba số \(x,y,z\) có một số âm, chẳng hạn \(x<0\) thì phương trình thứ 3 vô nghiệm. Nếu hai trong số ba số \(x,y,z\) là số âm, chẳng hạn \(x,y<0\) thì phương trình thứ 2 vô nghiệm. Vậy ba số \(x,y,z\) cùng dấu.

\(\bullet \) Trường hợp 1: \(x,y,z>0\)

Nếu \(x\ge y\) chia hai vế của phương trình thứ hai cho thứ ba của hệ ta được \(\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}=\frac{x+y}{y+z}\) \(\Rightarrow x\ge z\)

Với \(x\ge z\) chia hai vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai: \(\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\frac{x+z}{y+x}\Rightarrow z\le y\)

Với \(z\le y\) chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 3: \(\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}=\frac{x+z}{y+z}\Rightarrow x\le y\)

Suy ra \(x=y=z\) thay vào hệ phương trình đã cho ta tìm được nghiệm \(x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\bullet \) Trường hợp 2: \(x,y,z<0\) ta làm tương tự, tìm được thêm nghiệm \(x=y=z=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy hệ phương trình có \(2\) nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link