Với \(-\pi <x<\pi \) thì số nghiệm của phương trình \(\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3}

Câu hỏi số 214945:

Thông hiểu

Với \(-\pi <x<\pi \) thì số nghiệm của phương trình \(\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\) là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214945

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Tìm các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( -\pi ;\pi \right)\).

Giải chi tiết

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - \pi < - \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi \) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - 1 < - \frac{1}{{12}} + k < 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - \frac{{11}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right..\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12}\)

Xét nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} - \pi < \frac{\pi }{4} + k\pi < \pi \) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} - 1 < \frac{1}{4} + k < 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} - \frac{5}{4} < k < \frac{3}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\k = 0\end{array} \right..\)

Khi k = -1 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc \(\left( -\pi ;\pi \right).\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.