Trong nửa khoảng \(\left[ 0;2\pi \right)\), phương trình \(\cos 2x+\sin x=0\) có tập nghiệm

Câu hỏi số 214949:

Thông hiểu

Trong nửa khoảng \(\left[ 0;2\pi \right)\), phương trình \(\cos 2x+\sin x=0\) có tập nghiệm là:

A. \(\left\{ \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{6} \right\}\)

B. \(\left\{ -\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

C. \(\left\{ \frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6} \right\}\)

D. \(\left\{ \frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214949

Phương pháp giải

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

- Tìm các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left[ 0;2\pi \right)\).

- Sử dụng tính chất của các góc đối nhau và các góc phụ nhau: \(\cos x=\cos \left( -x \right)\,\,;\,\,\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cos 2x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \cos 2x\\ \Leftrightarrow - \sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin \left( { - x} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi}{2} + x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Xét nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \in \left[ 0;2\pi \right)\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <2\pi \overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{1}{2}+2k<2\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le k<\frac{3}{4}\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,k=0.\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}.\)

Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \in \left[ {0;2\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} 0 \le - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < 2\pi \Leftrightarrow 0 \le - \frac{1}{6} + \frac{{2k}}{3} < 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \frac{1}{4} \le k < \frac{{13}}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\\k = 3\end{array} \right.\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}\)

Khi k = 2 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}\)

Khi k = 3 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{6\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}\)

Vậy nghiệm của phương trình thuộc \(\left[ 0;2\pi \right)\) là: \(\left\{ \frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

Chọn D

Chú ý khi giải

Chú ý và sai lầm: Sau khi tìm được các giá trị k nguyên để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì một số bạn cho rằng họ nghiệm thứ nhất có 1 nghiệm thỏa mãn, họ nghiệm thứ hai có 3 nghiệm thảo mãn, vậy có 4 nghiệm thỏa mãn mà không cần tìm ra cụ thể. Dẫn đến chọn đáp án sai vì các nghiệm có thể trùng nhau.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.