Trong nửa khoảng \(\left[ 0;2\pi \right)\), phương trình \(\cos 2x+\sin x=0\) có tập nghiệm là:

Câu 214949: Trong nửa khoảng \(\left[ 0;2\pi \right)\), phương trình \(\cos 2x+\sin x=0\) có tập nghiệm là:

A. \(\left\{ \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{6} \right\}\)

B. \(\left\{ -\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

C. \(\left\{ \frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6} \right\}\)

D. \(\left\{ \frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

Câu hỏi : 214949

Phương pháp giải:

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

- Tìm các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left[ 0;2\pi \right)\).

- Sử dụng tính chất của các góc đối nhau và các góc phụ nhau: \(\cos x=\cos \left( -x \right)\,\,;\,\,\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\sin x.\)

Đáp án : D
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\cos 2x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \cos 2x\\ \Leftrightarrow - \sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin \left( { - x} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi}{2} + x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Xét nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \in \left[ 0;2\pi \right)\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{\pi }{2}+k2\pi <2\pi \overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,0\le \frac{1}{2}+2k<2\Leftrightarrow -\frac{1}{4}\le k<\frac{3}{4}\overset{k\in Z}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,k=0.\)

Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}.\)

Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \in \left[ {0;2\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} 0 \le - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} < 2\pi \Leftrightarrow 0 \le - \frac{1}{6} + \frac{{2k}}{3} < 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \frac{1}{4} \le k < \frac{{13}}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\\k = 3\end{array} \right.\)

Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}\)

Khi k = 2 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}\)

Khi k = 3 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{6}+\frac{6\pi }{3}=\frac{11\pi }{6}\)

Vậy nghiệm của phương trình thuộc \(\left[ 0;2\pi \right)\) là: \(\left\{ \frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};\frac{11\pi }{6} \right\}\)

Chọn D

Chú ý:
Chú ý và sai lầm: Sau khi tìm được các giá trị k nguyên để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì một số bạn cho rằng họ nghiệm thứ nhất có 1 nghiệm thỏa mãn, họ nghiệm thứ hai có 3 nghiệm thảo mãn, vậy có 4 nghiệm thỏa mãn mà không cần tìm ra cụ thể. Dẫn đến chọn đáp án sai vì các nghiệm có thể trùng nhau.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.