Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(2; - 1;1)\), \(B(3;0; - 1)\),

Câu hỏi số 216090:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A(2; - 1;1)\), \(B(3;0; - 1)\), \(C(2; - 1;3)\) và \(D\) thuộc trục \(Oy\) . Tính tổng tung độ của các điểm \(D\), biết thể tích tứ diện bằng \(5\) .

A. \( - 6\)

B. \(2\)

C. \(7\)

D. \(- 4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216090

Phương pháp giải

Phương pháp:

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:

Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\)

- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

- Sử dụng công thức tính tích có hướng:

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có:\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

- Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AD} } \right|\)

Giải chi tiết

Cách làm:

Giả sử \(D\left( {0;y;0} \right) \in Oy\) ta có:

\(\overrightarrow {AB} = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC} = (0;0;2),\overrightarrow {AD} = ( - 2;y + 1; - 1)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)\)Theo công thức tính thể tích ta có\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|\)

Theo giả thiết ta có

\({V_{ABCD}} = 5\), suy ra ta có:\(\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y = - 18\end{array} \right.\)

Suy ra \(D(0;12;0)\) hoặc \(D(0; - 18;0)\)

Do đó tổng tung độ của các điểm \(D\) là \(12 + ( - 18) = - 6\)

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Tính sai tọa độ các véc tơ.

- Nhầm lẫn các công thức tính tích có hướng và vô hướng.- Nhớ sai công thức tính thể tích tứ diện.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.