Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông.

Câu hỏi số 216426:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông. Tính \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \).

A. \({{{a^2}} \over 2}\)

B. \({{{a^2}} \over 4}\)

C. \({{{a^2}} \over 8}\)

D. 0

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216426

Phương pháp giải

Đưa biểu thức cần tính về các tích vô hướng đặc biệt của hình vuông

Giải chi tiết

Ta có

\(\eqalign{ & \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2M{O^2} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right). \cr} \)

Có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0,\overrightarrow {OC} \bot \overrightarrow {OD} \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} = 0\)

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính \({a \over 2} \Rightarrow MO = {a \over 2} \Rightarrow M{O^2} = {{{a^2}} \over 4}.\)

Vậy \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 2.{{{a^2}} \over 4} = {{{a^2}} \over 2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.