Cho \(a>1,b>1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\frac{{{a}^{2}}}{b-1}+\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\) là:
Câu 217667: Cho \(a>1,b>1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\frac{{{a}^{2}}}{b-1}+\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\) là:
A. \(4\)
B. \(2\)
C. \(6\)
D. \(8\)
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{{{a}^{2}}}{b-1},\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\)
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Lời giải chi tiết.
Do \(a,b>1\) nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{{{a}^{2}}}{b-1},\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\)ta nhận được \(Q=\frac{{{a}^{2}}}{b-1}+\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{b-1}\frac{{{b}^{2}}}{a-1}}=2\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}.\)
Lại có \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}=\frac{a-1+1}{\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+\frac{1}{\sqrt{a-1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{a-1}.\frac{1}{\sqrt{a-1}}}=2\)
\(\frac{b}{\sqrt{b-1}}=\frac{b-1+1}{\sqrt{b-1}}=\sqrt{b-1}+\frac{1}{\sqrt{b-1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{b-1}.\frac{1}{\sqrt{b-1}}}=2\)
Do đó \(Q\ge 2\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 2.2.2=8.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=2,b=2.\)
Chọn đáp án D.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
