Cho biết phương trình \({{x}^{2}}-mx+\left( m-1 \right)=0\) luôn có nghiệm với mọi giá trị \(m.\) Giả

Câu hỏi số 217936:

Vận dụng

Cho biết phương trình \({{x}^{2}}-mx+\left( m-1 \right)=0\) luôn có nghiệm với mọi giá trị \(m.\) Giả sử rằng \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình trên (chúng có thể trùng nhau). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt được khi:

A. \(m=1\)

B. \(m=2\)

C. \(m=3\)

D. \(m=4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217936

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng định lý Vi-et biến đổi biểu thức \(A\) chỉ phụ thuộc vào \(m\).

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ẩn \(m\) để tìm GTNN của \(A\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Áp dụng định lý Vi-ét ta có

\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A = x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 8{x_1}{x_2} = {m^2} - 8\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 8m + 8.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 8 - A = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array}\)

Để có \(A\) thỏa mãn \(A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có nghiệm.

Khi đó ta có

\(\,\Delta '\ge 0\Leftrightarrow {{4}^{2}}-1.\left( 8-A \right)\ge 0\Leftrightarrow 8+A\ge 0\Leftrightarrow A\ge -8.\)

Ta có \(A=-8\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({{m}^{2}}-8m+8-\left( -8 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+16=0\Leftrightarrow {{\left( m-4 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=4.\)

Chọn đáp án D.

Chú ý khi giải

Nhận xét. Ở trên thực ra ta có thể không cần dùng tới phương pháp miền giá trị để làm.

Ta có cách làm nhanh hơn như sau: \(A={{m}^{2}}-8m+8=\left( {{m}^{2}}-8m+16 \right)-8={{\left( m-4 \right)}^{2}}-8\ge 0-8=-8.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({{\left( m-4 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=4.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link