Cho \(P=\frac{{{x}^{4}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\) Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(P\)

Câu hỏi số 217938:

Vận dụng

Cho \(P=\frac{{{x}^{4}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\) Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(P\) là:

A. \(1\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217938

Phương pháp giải

Phương pháp:

Đặt ẩn phụ \({{x}^{2}}=a\) rồi biến đổi biểu thức thành phương trình bậc hai ẩn \(a\).

Tìm điều kiện phương trình có nghiệm để suy ra GTNN của \(P\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta đặt \(a={{x}^{2}}\) khi đó ta có

\(P=\frac{{{x}^{4}}+1}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}+1}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}+1}{{{a}^{2}}+2a+1}\Leftrightarrow P\left( {{a}^{2}}+2a+1 \right)={{a}^{2}}+1\Leftrightarrow \left( P-1 \right){{a}^{2}}+2Pa+\left( P-1 \right)=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) đạt được GTNN thì phải tồn tại \(x\) hay \(\left( 1 \right)\) có nghiệm dương.

Trường hợp 1. Với \(P=1\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(2a=0\Leftrightarrow a=0.\)

Trường hợp 2. Khi \(P\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - P} \right)^2} - {\left( {P - 1} \right)^2} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {P - \left( {P - 1} \right)} \right]\left[ {P + \left( {P - 1} \right)} \right] \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2P - 1 \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{2}.\end{array}\)

Với \(P=\frac{1}{2}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+a-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+1=0\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{1}{2}\) đạt được tại \(x=\pm 1.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link