Cho các biểu thức: \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+5}{4-x}\,\,\) và

Câu hỏi số 218075:

Vận dụng

Cho các biểu thức: \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+5}{4-x}\,\,\) và \(Q=\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+1\,\,\), với \(x\ge 0,\,\,x\ne 4\).

a) Rút gọn biểu thức P và Q.

b) Chứng minh \(\frac{P}{Q}<2.\)

c) Tìm x thỏa mãn: \(\left| P \right|+Q=0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218075

Phương pháp giải

Phương pháp:

Câu a:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức nếu đề bài chưa cho.

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức).

+) Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung,

+) Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác hay không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Câu b: Xét hiệu \(\frac{P}{Q}-2\) sau đó đánh giá, chứng minh \(\frac{P}{Q}-2<0\Rightarrow \frac{P}{Q}<2.\)

Câu c: Muốn giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối trước. Sau đó biến đổi tương đương để giải phương trình.

Giải chi tiết

Giải:

a) ĐKXĐ: \(x\ge 0;\,\,x\ne 4.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x + 5}}{{4 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x - x + \sqrt x + 2 - \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 4}}.\\Q = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + 1 = \frac{{3 - \sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}\)

b) Ta có:

\(\frac{P}{Q} - 2 = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 4}}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} - 2 = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} - 2 = \frac{{2\sqrt x - 3 - 2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{ - 7}}{{\sqrt x + 2}} < 0\)

\( \Rightarrow \frac{P}{Q} < 2.\)

\(\begin{array}{l}\left| P \right| + Q = 0 \Rightarrow \left| P \right| = - Q \Rightarrow Q \le 0\\\Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 2}} \le 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4 \Rightarrow 0 \le x < 4.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| P \right| = - Q \Leftrightarrow \left| {\frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 4}}} \right| = \frac{{ - 1}}{{\sqrt x - 2}} \Leftrightarrow \left| {\frac{{2\sqrt x - 3}}{{x - 4}}} \right| = - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt x - 3 = \sqrt x + 2\\2\sqrt x - 3 = - \sqrt x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 5\\\sqrt x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 25\,\,(l)\\x = \frac{1}{9}(tm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x=\frac{1}{9}\)

Chú ý khi giải

Chú ý: \(\left| A \right|=\left\{ \begin{align} & A\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,A\ge 0 \\ & -A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A<0 \\ \end{align} \right..\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link