Cho hình bình hành \(ABCD\) và đường thẳng \(d\) không có điểm nào chung với hình bình hành. Gọi

Câu hỏi số 218129:

Vận dụng

Cho hình bình hành \(ABCD\) và đường thẳng \(d\) không có điểm nào chung với hình bình hành. Gọi \(AE, BF, CG, DH\) là các đường vuông góc kẻ từ \(A, B, C, D\) đến đường thẳng \(d\). Chứng minh rằng \(AE + CG = BF + DH\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218129

Phương pháp giải

+ Vẽ \(OI \bot d\) ta chứng minh \(OI, AE, CG\) là ba đường thẳng song song cách đều để suy ra \(EI = IG\); \(OI, BF, DH\) là ba đường sog song cách đều để suy ra \(FI = IH\).

+ Chứng minh \(OI\) là đường trung bình của hai hình thang \(AEGC\) và \(BFHD\)

+ Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang để suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Do \(AE, BF, CG, DH\) cùng vuông góc với d suy ra \(AE // BF // CG//DH\). Nên \(AEGC\) và \(BFHD\) là hai hình thang vuông.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành \(ABCD\), ta được:

\(AO = OC\) (1), \(BO = OD\) (2)

Vẽ thêm \(OI \bot d\) thì \(OI // AE // CG\) (3) và \(OI // BF // DH\) (4) (do cùng vuông góc với d).

Từ (1) và (3) suy ra \(OI, AE, CG\) là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng d hai đoạn liên tiếp bằng nhau là \(EI = IG\) (5)

Từ (2) và (4) suy ra \(OI, BF, DH\) cũng là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng cũng chắn trên đường thẳng d hai đoạn liên tiếp bằng nhau là \(FI = IH\) (6)

Từ (1) với (5) và (2) với (6) ta có \(OI\) là đường trung bình của hai hình vuông \(AEGC\) và \(BFHD\).

Áp dụng định lý đường trung bình vào hai hình thang trên ta được:

\(2OI = AE + CG = BF + DH\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link