a) Giải phương trình: \(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-2}=1.\) b) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn:

Câu hỏi số 218479:

Vận dụng

a) Giải phương trình: \(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x-2}=1.\)

b) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{2}\left( x+y \right).\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x+y.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218479

Phương pháp giải

Phương pháp:

Câu a:

+) Tìm điều kiện xác định của phương trình.

+) Sử dụng các biến đổi đã được học, thêm – bớt để được hằng đẳng thức.

+) Bỏ dấu căn bẳng công thức: \(\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|.\)

+) Giải phương trình bằng các phép biến đổi tương đương để tìm x.

+) Đối chiếu với điều kiện xác định để kết luận nghiệm đúng của x.

Câu b:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số \(\left( x+1;2 \right)\) và \(\left( y+1;2 \right)\).

Giải chi tiết

Giải:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } + \sqrt {x - 2} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 2} .1 + 1} + \sqrt {x - 2} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {x - 2} = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2} - 1} \right| = 1 - \sqrt {x - 2} .\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

ĐKXĐ: \(x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2.\)

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} - 1 = 1 - \sqrt {x - 2} \\\sqrt {x - 2} - 1 = \sqrt {x - 2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 2} = 2\\\forall \,\,x \ge 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2} = 1\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\x \ge 2\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x\ge 2.\)

b) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{2}\left( x+y \right).\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\y + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\y \ge - 1\end{array} \right..\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {x + 1} \ge 0\\b = \sqrt {y + 1} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2} - 1\\y = {b^2} - 1\end{array} \right.,\)

khi đó giả thiết \(\Leftrightarrow a+b=\sqrt{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 \right)\)

Ta có: \({{\left( a+b \right)}^{2}}\le 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{\left( {{a^2} + {b^2} - 2} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} - 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4} \right] - 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} - 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le {a^2} + {b^2} \le 4.\\ \Leftrightarrow 1 - 2 \le {a^2} + {b^2} - 2 \le 4 - 2\\ \Leftrightarrow - 1 \le {a^2} + {b^2} - 2 \le 2\\ \Leftrightarrow - 1 \le P \le 2.\end{array}\)

Mà \(P=x+y=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}{\sqrt{2}}\ge 0\Rightarrow 0\le P\le 2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Min\,\,P = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 0.\\ \Rightarrow Max\,\,P = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 1} = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\end{array}\)

Vậy \(Min\,\,P=0\,\,khi\,\,\,x=y=0;\,\,\,Max\,\,P=2\,\,\,khi\,\,\,x=y=1.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link