Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm C di động trên đoạn AB. Vẽ các đường

Câu hỏi số 218478:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm C di động trên đoạn AB. Vẽ các đường tròn tâm I đường kính AC và đường tròn tâm K đường kính BC. Tia Cx vuông góc với AB tại C, cắt (O) tại M. Đoạn thẳng MA cắt đường tròn (I) tại E và đoạn thẳng MB cắt đường tròn (K) tại F.

a) Chứng minh tứ giác MECF là hình chữ nhật và EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K).

b) Cho \(AB=4cm,\) xác định vị trí điểm C trên AB để diện tích tứ giác IEFK là lớn nhất.

c) Khi C khác O, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MECF cắt đường tròn (O) tại P (khác M), đường thẳng PM cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh \(\Delta MPF\backsim \Delta MBN.\)

d) Chứng minh ba điểm: N, E, F thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218478

Phương pháp giải

Phương pháp:

Câu a:

+) Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính là tam giác vuông.

+) Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết).

Câu b: Chứng minh \({{S}_{IEFK}}=\frac{1}{2}{{S}_{MAB}}=MC\le R\Rightarrow \max {{S}_{IEFK}}=R\).

Câu c: Chứng minh \(MP.MN=M{{C}^{2}}=MF.MB\Rightarrow \) hai tam giác đồng dạng.

Câu d:

Giải chi tiết

Giải:

a) Xét (O) ta có tam giác AMB là tam giác nội tiếp đường tròn O có cạnh AB là đường kính.

\(\Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M hay \(\widehat{AMB}={{90}^{0}}.\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{AEC}={{90}^{0}} \\ & \widehat{CFB}={{90}^{0}} \\ \end{align} \right..\)

Xét tứ giác \(MECF\) có:

\(\widehat{EMF}=\widehat{MEC}=\widehat{CFM}={{90}^{0}}\,\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \) Tứ giác MECF là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết).

+) CM: EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K):

Gọi \(J=MC\cap EF.\)

Ta có \(\Delta JEC\) là tam giác cân tại J \(\Rightarrow \widehat{JEC}=\widehat{JCE}\).

\(\Delta IEC\) là tam giác cân cân tại I \(\Rightarrow \widehat{IEC}=\widehat{ECI}.\)

Mà \(\widehat{JCE}+\widehat{ECI}={{90}^{0\,\,\,}}\left( gt \right)\) \(\Rightarrow \widehat{IEJ}=\widehat{IEC}+\widehat{CEJ}={{90}^{0}}\) (tính chất bắc cầu)

Hay \(IE\bot EF\) hay EF là tiếp tuyến của (I) (1)

Chứng minh tương tự ta có EF là tiếp tuyến của (K) (2)

Từ (1) và (2) ta có EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và (K).

b) Ta có: \({{S}_{IEFK}}={{S}_{IEC}}+{{S}_{CEF}}+{{S}_{CFK}}\).

Mà \({{S}_{IEC}}=\frac{1}{2}{{S}_{AEC}};{{S}_{ECF}}=\frac{1}{2}{{S}_{ECFM}};{{S}_{CFK}}=\frac{1}{2}{{S}_{CFB}}\)

\(\Rightarrow {{S}_{IEC}}+{{S}_{ECF}}+{{S}_{CFK}}=\frac{1}{2}\left( {{S}_{AEC}}+{{S}_{ECFM}}+{{S}_{CFB}} \right)=\frac{1}{2}{{S}_{AMB}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.MC.AB=\frac{1}{4}.MC.4=MC\)

Mà \(MC\le OM=\frac{AB}{2}=2\Rightarrow \max {{S}_{IEFK}}=2\) khi \(C\equiv O\).

c) Xét \(\Delta MPC\) và \(\Delta MCN\) có:

\(\begin{align} & \widehat{MPC}=\widehat{MCN}={{90}^{0}} \\ & \widehat{PMC}=\widehat{CMN} \\ & \Delta MPC\sim \Delta MCN\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MP}{MC}=\frac{MC}{MN}\Rightarrow MP.MN=M{{C}^{2}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ \end{align}\)

Xét \(\Delta MFC\) và \(\Delta MCB\) có:

\(\begin{align} & \widehat{MFC}=\widehat{MCB}={{90}^{0}} \\ & \widehat{CMF}=\widehat{BMC} \\ & \Rightarrow \Delta MFC\sim \Delta MCB\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MF}{MC}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow MF.MB=M{{C}^{2}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MP.MN=MF.MB\Rightarrow \frac{MP}{MB}=\frac{MF}{MN}\).

Xét \(\Delta MPF\) và \(\Delta MBN\) có:

\(\left. \begin{align} & \frac{MP}{MB}=\frac{MF}{MN}\left( cmt \right) \\ & \widehat{PMF}=\widehat{BMN} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \Delta MPF\sim \Delta MBN\left( c.g.c \right)\).

Vậy \(\Delta MPF\sim \Delta MBN\).

d) Ta có: \(EC\bot AM;BF\bot AM\Rightarrow EC//BF\) (từ vuông góc đến song song).

\(\Rightarrow \widehat{ECN}=\widehat{FBN}\) (hai góc đồng vị)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link