Chứng minh rằng \(B=5+{{5}^{3}}+{{5}^{5}}+...+{{5}^{201}}+{{5}^{203}}\) chia hết cho 31.

Câu hỏi số 218714:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng \(B=5+{{5}^{3}}+{{5}^{5}}+...+{{5}^{201}}+{{5}^{203}}\) chia hết cho 31.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218714

Phương pháp giải

Tổng B có 102 số hạng nên nhóm ba số hạng liền nhau , biến đổi để chứng minh dựa vào tính chất : \(a\vdots m\Rightarrow a.k\vdots m;k\in \mathbb{N}\)

Giải chi tiết

\(B=5+{{5}^{3}}+{{5}^{5}}+...+{{5}^{201}}+{{5}^{203}}\) có 102 số hạng, có \(102\,\,\vdots \,\,3\) .

Ghép ba số hạng của dãy số thành 1 nhóm ta được \(102:3=34\) nhóm như sau:

\(\begin{array}{l}B = 5 + {5^3} + {5^5} + ... + {5^{201}} + {5^{203}}\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^3} + {5^5}} \right) + \left( {{5^7} + {5^9} + {5^{11}}} \right) + ... + \left( {{5^{199}} + {5^{201}} + {5^{203}}} \right)\\\,\,\,\,\, = 5.\left( {1 + {5^3} + {5^4}} \right) + {5^7}.\left( {1 + {5^3} + {5^4}} \right) + ... + {5^{199}}.\left( {1 + {5^3} + {5^4}} \right)\\\,\,\,\,\, = 5.651 + {5^7}.651 + ... + {5^{199}}.651\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^7} + ... + {5^{199}}} \right).651\\\,\,\,\,\, = \left( {5 + {5^7} + ... + {5^{199}}} \right).21.31\,\, \vdots \,\,31\end{array}\)

Vậy \(B=5+{{5}^{3}}+{{5}^{5}}+...+{{5}^{201}}+{{5}^{203}}\) chia hết cho 31.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link