Giáo viên ra một đề toán như sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy

Câu hỏi số 218863:

Thông hiểu

Giáo viên ra một đề toán như sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6.\)

Dưới đây là cách làm của hai bạn khác nhau.

Bạn A. Ta viết lại

\(\begin{array}{l}M = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6\\\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + 1.\end{array}\)

Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\, \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + \,{\left( {x - 1} \right)^2} + \,{\left( {y - 2} \right)^2} + 1 \ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(1.\)

Bạn B. Ta viết lại

\(\begin{array}{l}M = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6\\\,\,\,\,\,\, = 2\left[ {{y^2} - 2.y.\frac{{x + 2}}{2} + {{\left( {\frac{{x + 2}}{2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {2{x^2} - 2x + 6 - 2{{\left( {\frac{{x + 2}}{2}} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\, = 2{\left( {y - \frac{{x + 2}}{2}} \right)^2} + \left( {\frac{{3{x^2}}}{2} - 4x + 4} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2{\left( {y - \frac{{x + 2}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}\left[ {{x^2} - 2.\frac{4}{3}x + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} \right] + \frac{4}{3}\\\,\,\,\,\, = 2{\left( {y - \frac{{x + 2}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}{\left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \ge \frac{4}{3}.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{4}{3}\)

A. Chỉ có bạn \(A\) giải đúng

B. Chỉ có bạn \(B\) giải đúng

C. Cả hai bạn đều giải đúng

D. Cả hai bạn đều giải sai

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218863

Phương pháp giải

Biến đổi \(M = {A^2} + {B^2} + C\) rồi đánh giá GTNN của \(M\).

Giải chi tiết

Đối với trường hợp bạn A thì để \(M\) có giá trị nhỏ nhất là \(1\) thì ta cần có dấu bằng xảy ra.

Khi đó ta cần phải có \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Hệ này vô nghiệm nên ta không thể có \(M = 1 \Rightarrow \) Bạn A giải sai.

Đối với bạn B. Để \(M\) có giá trị nhỏ nhất là \(\frac{4}{3}\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - \frac{{x + 2}}{2}} \right)^2} = 0\\{\left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{x + 2}}{2}\\x = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\y = \frac{{\frac{4}{3} + 2}}{2} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Bạn B giải đúng.

Chọn đáp án B.

Chú ý khi giải

Tìm GTNN, GTLN của \(M\) nhưng không chú ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link