Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2(m-1)x-(m+1)=0\). Tìm \(m\) để pt có \(2\) nghiệm nhỏ hơn

Câu hỏi số 218964:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({{x}^{2}}+2(m-1)x-(m+1)=0\). Tìm \(m\) để pt có \(2\) nghiệm nhỏ hơn \(2\)

A. \(m<2\)

B. \(m>-3\)

C. \(\frac{1}{3}<m<2\)

D. \(m>\frac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218964

Phương pháp giải

Phương pháp:

- Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\,(\Delta '>0)\).

- Phương trình có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) đều nhỏ hơn \(2\Leftrightarrow {{x}_{1}}-2<0;\,{{x}_{2}}-2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & ({{x}_{1}}-2)({{x}_{2}}-2)>0 \\ & \frac{S}{2}<2 \\ \end{align} \right.\).

- Ta biến đổi biểu thức trên về biểu thức có chứa \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\) và \({{x}_{1}}{{x}_{2}}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Cách làm:

Xét phương trình: \({{x}^{2}}+2(m-1)x-(m+1)=0\) ta có:

\(\begin{align} & \Delta '={{(m-1)}^{2}}+m+1={{m}^{2}}-2m+1+m+1={{m}^{2}}-m+2 \\ & \Delta '\,={{m}^{2}}-2m.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}\, \\ & \Delta '>0\,\,\forall m \\ \end{align}\)

Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt \(x{}_{1},\,{{x}_{2}}\) với mọi giá trị của \(m\) .

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\frac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0\\ - m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m > - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2(m-1) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-(m+1) \\ \end{align} \right.\) thay vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link