Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt

Câu hỏi số 219274:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD’. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.

A. \(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

B. \(\sqrt{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

D. \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219274

Phương pháp giải

Thiết diện đi qua BD’ luôn là 1 hình bình hành

Gắn hệ trục tọa độ sau đó tính diện tích của hình bình hành và tìm giá trị nhỏ nhất của hình bình hành đó.

Giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng đi qua BD’ cắt A’B’ tại E \(\left( E\in A'B' \right)\) và cắt hình lập phương theo thiết diện là BED’F, ta dễ dàng chứng minh được BED’F là hình bình hành.

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có \(A'\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right),\,\,D'\left( 0;1;0 \right)\). Gọi \(E\left( x;0;0 \right)\,\,\left( 0\le x\le 1 \right)\)Ta có: \({{S}_{BED'F}}=2{{S}_{EBD'}}=2.\frac{1}{2}d\left( E;BD' \right).BD'=d\left( E;BD' \right).\sqrt{3}\)

Để diện tích thiết diện là nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( E;BD' \right)\) đạt GTNN.

Ta có: \(\overrightarrow{EB}=\left( 1-x;0;1 \right),\,\overrightarrow{BD'}=\left( -1;1;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{EB};\overrightarrow{BD'} \right]=\left( -1;-x;1-x \right)\)\(\Rightarrow d\left( E;BD' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{EB}.\overrightarrow{BD'} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{BD'} \right|}=\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}+{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+2}}{\sqrt{3}}\)

Ta có: \(2{{x}^{2}}-2x+2=2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}\Rightarrow d\left( E;BD' \right)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\) , khi đó \({{S}_{BED'F}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.