Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD’. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Thiết diện đi qua BD’ luôn là 1 hình bình hành
Gắn hệ trục tọa độ sau đó tính diện tích của hình bình hành và tìm giá trị nhỏ nhất của hình bình hành đó.
Giả sử mặt phẳng đi qua BD’ cắt A’B’ tại E \(\left( E\in A'B' \right)\) và cắt hình lập phương theo thiết diện là BED’F, ta dễ dàng chứng minh được BED’F là hình bình hành.
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có \(A'\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right),\,\,D'\left( 0;1;0 \right)\). Gọi \(E\left( x;0;0 \right)\,\,\left( 0\le x\le 1 \right)\)Ta có: \({{S}_{BED'F}}=2{{S}_{EBD'}}=2.\frac{1}{2}d\left( E;BD' \right).BD'=d\left( E;BD' \right).\sqrt{3}\)
Để diện tích thiết diện là nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( E;BD' \right)\) đạt GTNN.
Ta có: \(\overrightarrow{EB}=\left( 1-x;0;1 \right),\,\overrightarrow{BD'}=\left( -1;1;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{EB};\overrightarrow{BD'} \right]=\left( -1;-x;1-x \right)\)\(\Rightarrow d\left( E;BD' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{EB}.\overrightarrow{BD'} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{BD'} \right|}=\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}+{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+2}}{\sqrt{3}}\)
Ta có: \(2{{x}^{2}}-2x+2=2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}\Rightarrow d\left( E;BD' \right)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\) , khi đó \({{S}_{BED'F}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
