Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD’. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.

Câu 219274: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo BD’. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.

A. \(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

B. \(\sqrt{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

D. \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Câu hỏi : 219274

Phương pháp giải:

Thiết diện đi qua BD’ luôn là 1 hình bình hành

Gắn hệ trục tọa độ sau đó tính diện tích của hình bình hành và tìm giá trị nhỏ nhất của hình bình hành đó.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng đi qua BD’ cắt A’B’ tại E \(\left( E\in A'B' \right)\) và cắt hình lập phương theo thiết diện là BED’F, ta dễ dàng chứng minh được BED’F là hình bình hành.

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có \(A'\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right),\,\,D'\left( 0;1;0 \right)\). Gọi \(E\left( x;0;0 \right)\,\,\left( 0\le x\le 1 \right)\)Ta có: \({{S}_{BED'F}}=2{{S}_{EBD'}}=2.\frac{1}{2}d\left( E;BD' \right).BD'=d\left( E;BD' \right).\sqrt{3}\)

Để diện tích thiết diện là nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( E;BD' \right)\) đạt GTNN.

Ta có: \(\overrightarrow{EB}=\left( 1-x;0;1 \right),\,\overrightarrow{BD'}=\left( -1;1;-1 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{EB};\overrightarrow{BD'} \right]=\left( -1;-x;1-x \right)\)\(\Rightarrow d\left( E;BD' \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{EB}.\overrightarrow{BD'} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{BD'} \right|}=\frac{\sqrt{1+{{x}^{2}}+{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+2}}{\sqrt{3}}\)

Ta có: \(2{{x}^{2}}-2x+2=2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}\Rightarrow d\left( E;BD' \right)\ge \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\) , khi đó \({{S}_{BED'F}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.