Cho đường tròn tâm O có đường kính \(AB=2a\) nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối

Câu hỏi số 219280:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O có đường kính \(AB=2a\) nằm trong mặt phẳng (P). Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho \(SI\bot \left( P \right)\) và \(SI=2a\). Tính bán kính R mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S.

A. \(R=\frac{7a}{4}\)

B. \(R=\frac{a\sqrt{65}}{16}\)

C. \(R=\frac{a\sqrt{65}}{4}\)

D. \(R=\frac{a\sqrt{65}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219280

Phương pháp giải

Tâm O’ của mặt cầu cần tìm là giao điểm của mặt phẳng trung trực của AB và đường trung trực của SA.

Giải chi tiết

Gọi O’ là giao điểm của mặt phẳng trung trực của AB và đường trung trực của SA.

Vì O’ thuộc của mặt phẳng trung trực của AB nên O’A = O’B = O’M (Với mọi điểm M thuộc đường tròn tâm O), O’ thuộc trung trực của SA nên O’S = O’A, do đó O’A = O’B = O’M = O’S. Vậy O’ là tâm mặt cầu cần tìm.

Xét mặt phẳng chứa SI và vuông góc với mp(P) như hình vẽ, dựng hình vuông OISD.

Đặt O’D = x thì OO’ = 2a – x.

Ta có: \(O'S=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}};\,\,O'A=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a-x \right)}^{2}}}\). Mà O’S = O’A nên

\(\begin{array}{l}\sqrt {4{a^2} + {x^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a - x} \right)}^2}} \Leftrightarrow 4{a^2} + {x^2} = 5{a^2} - 4ax + {x^2} \Leftrightarrow 4ax = {a^2} \Leftrightarrow x = \frac{a}{4}.\\ \Rightarrow O'S = \sqrt {4{a^2} + {x^2}} = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {65} }}{4} = R.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.