Cho phương trình : \({x^2} + \left( {4m - 1} \right)x + 2\left( {m - 4} \right) = 0\) . Gọi \({x_1}\) và

Câu hỏi số 220131:

Vận dụng

Cho phương trình : \({x^2} + \left( {4m - 1} \right)x + 2\left( {m - 4} \right) = 0\) . Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Tìm để \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) có giá trị nhỏ nhất?

A. \(m = {{ - 1} \over 2}\)

B. m = 1

C. \(m = {{ 1} \over 2}\)

D. m = - 2

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:220131

Phương pháp giải

Trước hết ta cần tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) . Đề bài cho phương trình có hai nghiệm nên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow {\left( {4m - 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) > 0 \cr & \Leftrightarrow 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32 > 0 \cr & \Leftrightarrow 16{m^2} - 16m + 33 > 0 \cr & \Leftrightarrow 16{m^2} - 2.4m.2 + 4 + 29 > 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 > 0\,\,\,\,\forall m \cr} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = - \left( {4m - 1} \right) \cr {x_1}{x_2} = 2\left( {m - 4} \right) \cr} \right.\) (1)

Ta có: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\) (2).

Thay (1) vào (2) được:

\(\eqalign{& A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( { - 4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} - 8m + 1 - 8m + 32 \cr & \,\,\,\,\,\, = 16{m^2} - 16m + 33 = {\left( {4m - 2} \right)^2} + 29 \ge 29,\,\,\,\forall m \cr & \Rightarrow {A_{\min }} = 29 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}. \cr} \)

Vậy với \(m = {1 \over 2}\) thì \({A_{\min }} = 29.\)

Chọn C.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.