Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 10 = 0\). Tìm m để phương trình có hai

Câu hỏi số 220133:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 10 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: \({1 \over {{x_1}^2}} + {1 \over {{x_2}^2}} = 1.\)

A. m = 4

B. m = - 4

C. m = 14

D. m = - 14

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:220133

Phương pháp giải

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) (\(\Delta \ge 0\)).

Ta biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó áp dụng hệ thức Vi-et ta tìm được m.

Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Giải chi tiết

Xét phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 10 = 0\) có:

\({\Delta'} = {\left( {m - 4} \right)^2} - 2m + 10 = {m^2} - 8m + 16 - 2m + 10\)

\( = {m^2} - 10m + 26 = {\left( {m - 5} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và .

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 4} \right) \cr {x_1}{x_2} = 2m - 10 \cr} \right.\) (1)

Ta có:

\({1 \over {{x_1}^2}} + {1 \over {{x_2}^2}} = 1 \Leftrightarrow {{{x_1}^2 + {x_2}^2} \over {{x_1}^2.{x_2}^2}} = 1 \Leftrightarrow {{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \over {{x_1}^2.{x_2}^2}} = 1\)

Thay (1) vào phương trình trên ta được:

\(\eqalign{& {{4{{\left( {m - 4} \right)}^2} - 4\left( {m - 5} \right)} \over {{{\left( {2m - 10} \right)}^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {m \ne 5} \right) \cr & \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - 8m + 16} \right) - 4m + 20 = 4{m^2} - 40m + 100 \cr & \Leftrightarrow 4{m^2} - 32m + 64 - 4m + 20 = 4{m^2} - 40m + 100 \cr & \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right). \cr} \)

Vậy m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.