Cho số phức z = a + bi \(\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn phương trình \({{\left( {\left| z \right| - 1}

Câu hỏi số 220313:

Vận dụng cao

Cho số phức z = a + bi \(\left( {a,b \in R} \right)\) thỏa mãn phương trình \({{\left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right)} \over {z - {1 \over {\overline z }}}} = i\). Tính \({a^2} + {b^2}\).

A. \(3 + 2\sqrt 2 \)

B. \(2 + 2\sqrt 2 \)

C. \(3 - 2\sqrt 2 \)

D. 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220313

Phương pháp giải

Gọi z = a + bi, thay vào phương trình tìm mối liên hệ giữa a và b, thử lần lượt các đáp án đế suy ra kết quả.

Giải chi tiết

Gọi \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\,\,\left( {a,b \in R} \right)\) ta có:

\(\eqalign{ & \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right) = i\left( {z - {1 \over {\overline z }}} \right) \cr & \Rightarrow \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right)\left( {1 + ai - b} \right) = i\left( {a + bi - {1 \over {a - bi}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right)\left( {1 + ai - b} \right) = ai - b - {{i\left( {a + bi} \right)} \over {{a^2} + {b^2}}} \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right)\left( {1 - b} \right) + a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right)i = ai - b - {a \over {{a^2} + {b^2}}}i + {b \over {{a^2} + {b^2}}} \cr & \Leftrightarrow \left[ {a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right) - a + {a \over {{a^2} + {b^2}}}} \right]i + \left[ {\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right)\left( {1 - b} \right) + b - {b \over {{a^2} + {b^2}}}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right) - a + {a \over {{a^2} + {b^2}}} = 0 \hfill \cr \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - 1} \right)\left( {1 - b} \right) + b - {b \over {{a^2} + {b^2}}} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\left( * \right) \cr} \)

Thử từng đáp án:

Đáp án A : \({a^2} + {b^2} = 3 + 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 2 + 1\)

Thay vào (*) ta có:

\(\left\{ \matrix{ a\sqrt 2 - a + {a \over {3 + 2\sqrt 2 }} = 0 \hfill \cr \sqrt 2 \left( {1 - b} \right) + b - {b \over {3 + 2\sqrt 2 }} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = 0 \hfill \cr b\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 0 \hfill \cr b = 1 + \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + \sqrt 2 \)

Do đó A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.