Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F là trung điểm

Câu hỏi số 220614:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC.

a) Chứng minh: PFDR, PEDQ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220614

Phương pháp giải

a) Dựa vào định lý đường trung bình của tam giác để chứng minh được các cạnh PR = DF và \(PR//DF \Rightarrow PFDR\) là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết.

Lại có \(PF//BK;BK \bot AC;AC//PR\) nên \(PF \bot PR\) nên PFDR là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự với tứ giác PQDE.

b) Dựa vào tính chất hình chữ nhật: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường để suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABI\) có \(FA = FB\left( {gt} \right);PI = PA\left( {gt} \right) \Rightarrow FP\) là đường trung bình của \(\Delta ABI\)

\( \Rightarrow FP//BI\left( {t/c} \right) \Rightarrow FP//BK\)

Mà \(BK \bot AC\left( {gt} \right)\) nên \(FP \bot AC\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AIC\) có \(PA = PI\left( {gt} \right);RI = RC\left( {gt} \right) \Rightarrow PR\) là đường trung bình của tam giác

\( \Rightarrow PR//AC;PR = {1 \over 2}AC\left( {t/c} \right)\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(FP \bot PR\) (từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta ABC\) có \(FB = FA\left( {gt} \right);DB = DC\left( {gt} \right) \Rightarrow DF\) là đường trung bình của tam giác

Từ (2) và (3) ta có \(PR//DF;PR = DF\) nên PRDF là hình bình hành.

Lại có \(PF//BK;BK \bot AC;AC//PR\) nên \(PF \bot PR\) nên hình bình hành là hình chữ nhật.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\(\left\{ \matrix{PE//CL \cr CL \bot AB \cr AB//PQ \cr} \right. \Rightarrow PE \bot PQ\) và \(PQ//DE//AB;PQ = DE = {1 \over 2}AB\) nên PEDQ là hình bình hành.

Do đó PEDQ là hình chữ nhật.

b) PEDQ là hình chữ nhật nên PD cắt EQ tại trung điểm O của PD và EQ

Lại có PFDR là hình chữ nhật nên PD cắt FR tại trung điểm O của pD và FR

Do đó O là trung điểm các đoạn thẳng \(PD,FR,EQ\)

Vậy ba đường thẳng \(PD,FR,EQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link