Cho hình vuông ABCD, E là một điểm trên cạnh CD. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại M. Chứng

Câu hỏi số 220615:

Vận dụng cao

Cho hình vuông ABCD, E là một điểm trên cạnh CD. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại M. Chứng minh rằng \(AM \le 2ME\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220615

Phương pháp giải

Ta thấy nếu vẽ \(EF \bot AM(F \in AB)\) thì EF = AM.

Ta có AM là đường phân giác, đường cao của tam giác AEF, nên tam giác AEF cân đỉnh A.

Từ đó có ME = MF.

Xét ba điểm M, E, F ta có: \(EF \le ME + MF\)

Do đó \(AM \le 2ME\)

Giải chi tiết

Vẽ \(EF \bot AM(F \in AB),EG \bot AB(G \in AB)\)

Tứ giác AGED là hình chữ nhật( vì \(\widehat G = \widehat A = \widehat D = {90^0}\) ), suy ra GE = AD.

Xét \(\Delta GEF\) và \(\Delta BAM\) có: \(\widehat {EGF} = \widehat {ABM} = {90^0}\); GE = AB (=CD); \(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\)

Do đó \(\Delta GEF = \Delta BAM\) (g.c.g) suy ra EF = AM.

Tam giác AEF có AM là đường phân giác và là đường cao nên tam giác AEF cân đỉnh A. Ta có AM là đường trung trực của EF, nên ME = MF.

Xét ba điểm M, E, F ta có: \(EF \le ME + MF \Leftrightarrow EF \le 2ME\). Do đó \(AM \le 2ME\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link