Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\) và điểm \(A(1;1; - 1)\). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3})\). Tính tổng diện tích của ba hình tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3})\).

Câu 221095: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 2)^2} = 4\) và điểm \(A(1;1; - 1)\). Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu (S) theo ba giao tuyến là các đường tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3})\). Tính tổng diện tích của ba hình tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3})\).

A. \(4\pi \)

B. \(12\pi \)

C. \(11\pi \)

D. \(3\pi \)

Câu hỏi : 221095

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đổi hệ trục tọa độ mới.

Đáp án : C
(25) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y - 1\\Z = z + 1\end{array} \right.\) . Trong hệ trục tọa độ mới \(A\left( {0;0;0} \right),I\left( {0;0; - 1} \right)\), \((S):{X^2} + {Y^2} + {(Z + 1)^2} = 4\)

Trong mặt phẳng (AXY) thì ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{X^2} + {Y^2} + {(Z + 1)^2} = 4\\Z = 0\end{array} \right. \Rightarrow ({C_1}):{X^2} + {Y^2} = 3 \Rightarrow {R_1}^2 = 3\)

Trong mặt phẳng (AYZ) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{X^2} + {Y^2} + {(Z + 1)^2} = 4\\Y = 0\end{array} \right. \Rightarrow ({C_2}):{X^2} + {(Z + 1)^2} = 4\Rightarrow {R_2}^2 = 4\)

Trong mặt phẳng (AYZ) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{X^2} + {Y^2} + {(Z + 1)^2} = 4\\X = 0\end{array} \right. \Rightarrow ({C_3}):{Y^2} + {(Z + 1)^2} = 4 \Rightarrow {R_3}^2 = 4\)

Tổng diện tích của ba hình tròn \(({C_1}),({C_2}),({C_3})\) là:

\(S = \pi ({R_1}^2 + {R_2}^2 + {R_3}^2) = \pi .(3 + 4 + 4) = 11\pi \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.