Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB=AC=BB'=a,\widehat{BAC}={{120}^{\circ }}\). Gọi I là trung điểm

Câu hỏi số 221296:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB=AC=BB'=a,\widehat{BAC}={{120}^{\circ }}\). Gọi I là trung điểm của \(CC'\). Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và \(\left( AB'I \right).\)

A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B. \(\frac{3\sqrt{5}}{12}\)

C. \(\frac{\sqrt{30}}{10}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221296

Phương pháp giải

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

- Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Giải chi tiết

Gọi E là giao điểm của \(B'I\) và BC.

\(H\in BC\) sao cho \(EA\bot AH\) tại A

\(K\in B'I\) sao cho \(KH\bot CB\) tại H

Có \(KH\bot CB\Rightarrow KH\parallel CC'.\)

\(\Rightarrow KH\bot \left( ABC \right)\) tại H

\(\Rightarrow KH\bot EA\) mà \(EA\bot AH\)

\(\Rightarrow EA\bot \left( AKH \right)\)

\(\Rightarrow EA\bot AK\)

Hai mặt phẳng \(\left( AIB' \right)\) và \(\left( ACB \right)\) có giao tuyến là EA

Mà \(AK\subset \left( AIB' \right);AH\subset \left( ACB \right);EA\bot AK;EA\bot AH\Rightarrow \) góc hợp bởi hai mặt phẳng \(\left( AIB' \right)\) và \(\left( ACB \right)\) là \(\widehat{KAH}.\)

Ta có: \(BC=2a\cos {{30}^{\circ }}=a\sqrt{3}\)

\(A{{E}^{2}}=E{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AC.EC.\cos \widehat{ACE}\) \(=3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a\sqrt{3}.cos{{150}^{\circ }}=7{{a}^{2}}\)\(\Rightarrow AE=a\sqrt{7}\)

Ta cos: \(\cos \widehat{AEC}=\frac{A{{E}^{2}}+E{{C}^{2}}A{{C}^{2}}}{2.AE.EC}=\frac{7{{a}^{2}}3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}{2a\sqrt{7}.a\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{21}}.\)

\(\Rightarrow \tan \widehat{AEC}=\sqrt{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\widehat{AEC}}-1}=\frac{\sqrt{3}}{9}.\) \(\Rightarrow AH=AE.\tan \widehat{AEC}=\frac{a\sqrt{21}}{9}\)

Ta có: \(\frac{EH}{EB}=\frac{HK}{BB'}\) \(\Rightarrow HK=\frac{EH.BB'}{EB}=\frac{AE.BB'}{2BC.\cos \widehat{AEC}}=\frac{a\sqrt{7}.a.2\sqrt{21}}{2a\sqrt{3}.9}=\frac{7a}{9}.\)

\(\Rightarrow \cos\widehat{KAH}=\frac{AH}{AK}=\frac{AH}{\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{21}}{9\sqrt{\frac{21{{a}^{2}}}{81}+\frac{49{{a}^{2}}}{81}}}=\frac{\sqrt{30}}{10}.\)

Chú ý khi giải

Cần xác định đúng góc tạo bởi hai mặt phẳng để đi đến đáp số.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.