Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = {{\left( {n + 1} \right)!} \over {{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Câu 221317: Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = {{\left( {n + 1} \right)!} \over {{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.

B. \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.

C. \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.

D. \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số tăng và \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Câu hỏi : 221317

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xét tính tăng giảm của từng dãy số.

Đối với dãy \(\left( {{x_n}} \right)\), ta xét thương \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}}\) và so sánh thương đó với 1.

Đối với dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) ta xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) và so sánh hiệu đó với 0.

Đáp án : D
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét thương : \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{{\left( {n + 2} \right)!} \over {{2^{n + 1}}}}} \over {{{\left( {n + 1} \right)!} \over {{2^n}}}}} = {{\left( {n + 2} \right)!} \over {{2^{n + 1}}}}.{{{2^n}} \over {\left( {n + 1} \right)!}} = {{n + 2} \over 2} = {n \over 2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)\) là dãy tăng.

Xét hiệu

\({y_{n + 1}} - {y_n} = \left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}\).

Do đó \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy tăng.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.