Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = {1 \over 2};{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {2\left( {n +

Câu hỏi số 221355:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = {1 \over 2};{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}},\,\,n \ge 1\) . \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} < {{2017} \over {2018}}\) khi n có giá trị dương lớn nhất là :

A. 2017

B. 2015

C. 2016

D. 2014

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221355

Phương pháp giải

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Suy ra các số hạng từ \({u_1}\) đến \({u_n}\) và tính tổng

Giải chi tiết

Dễ dàng chỉ ra được \({u_n} \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có

\(\eqalign{ & {1 \over {{u_{n + 1}}}} = {{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1} \over {{u_n}}} = {1 \over {{u_n}}} + 2n + 2 \cr & \Rightarrow {1 \over {{u_n}}} = {1 \over {{u_{n - 1}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 = {1 \over {{u_{n - 2}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 + 2\left( {n - 2} \right) + 2 = ... = {1 \over {{u_1}}} + + 2\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) + 2\left( {n - 1} \right) \cr & = 2 + 2{{n\left( {n - 1} \right)} \over 2} + 2n - 2 = {n^2} + n \cr & \Rightarrow {u_n} = {1 \over {{n^2} + n}} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \cr & \Rightarrow {S_n} = {1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = 1 - {1 \over {n + 1}} = {n \over {n + 1}} < {{2017} \over {2018}} \cr & \Rightarrow 2018n < 2017n + 2017 \Leftrightarrow n < 2017. \cr} \)

Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 2016.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.