Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = {1 \over 2};{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}},\,\,n \ge 1\) . \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} < {{2017} \over {2018}}\) khi n có giá trị dương lớn nhất là :
Câu 221355: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = {1 \over 2};{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1}},\,\,n \ge 1\) . \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} < {{2017} \over {2018}}\) khi n có giá trị dương lớn nhất là :
A. 2017
B. 2015
C. 2016
D. 2014
Quảng cáo
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Suy ra các số hạng từ \({u_1}\) đến \({u_n}\) và tính tổng
-
Đáp án : C(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Dễ dàng chỉ ra được \({u_n} \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)
Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có
\(\eqalign{ & {1 \over {{u_{n + 1}}}} = {{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1} \over {{u_n}}} = {1 \over {{u_n}}} + 2n + 2 \cr & \Rightarrow {1 \over {{u_n}}} = {1 \over {{u_{n - 1}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 = {1 \over {{u_{n - 2}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 + 2\left( {n - 2} \right) + 2 = ... = {1 \over {{u_1}}} + + 2\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) + 2\left( {n - 1} \right) \cr & = 2 + 2{{n\left( {n - 1} \right)} \over 2} + 2n - 2 = {n^2} + n \cr & \Rightarrow {u_n} = {1 \over {{n^2} + n}} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} \cr & \Rightarrow {S_n} = {1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = 1 - {1 \over {n + 1}} = {n \over {n + 1}} < {{2017} \over {2018}} \cr & \Rightarrow 2018n < 2017n + 2017 \Leftrightarrow n < 2017. \cr} \)
Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 2016.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com