Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình \(3\left(

Câu hỏi số 221558:

Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

\(3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{\left( 1+x \right)\left( 3-x \right)}\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]?\)

A. \(m\le 6\sqrt{2}-4\)

B. \(m\ge 6\sqrt{2}-4\)

C. \(m\le 6\)

D. \(m\ge 6\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221558

Phương pháp giải

Xét hàm số \(f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}\) tìm GTNN \(\min f\left( x \right)\) trên \(\left[ -1;3 \right]\).

Bất phương trình \(f\left( x \right)\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]\) nếu \(\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m\).

Giải chi tiết

\(f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}\)

\(\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{1+x}}-\frac{3}{2\sqrt{3-x}}-\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{12\left( 1-x \right)}{\sqrt{3-x}\sqrt{x+1}}+\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0\)

Giải phương trình trên ta thu được nghiệm duy nhất x = 1.

Lại có \(f(1)=6\sqrt{2}-4,f(-1)=f(3)=6,\) do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Từ đây ta suy ra với \(m\le 6\sqrt{2}-4\) thì bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]\)

Chú ý khi giải

HS cần phân biệt:

Điều kiện để bất phương trình \(f\left( x \right)\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ a;b \right]\) là \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m\)

Điều kiện để bất phương trình \(f\left( x \right)\ge m\) có nghiệm trên \(\left[ a;b \right]\) là \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\ge m\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.