Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB ( D khác phía C

Câu hỏi số 221613:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB ( D khác phía C đối với AB). Vẽ đoạn AE vuông góc với AC và bằng AC(E khác phía B đối với AC). Chứng minh

\(\Delta DAC = \Delta BAE\) DC =BE và \(DC \bot BE\) M là trung điểm của BC. Tia đối của tia AM cắt DE ở N. Trên tia AM lấy K sao cho M là trung điểm của AK. Chứng minh \(\Delta ADE = \Delta BAK\) và \(AN \bot DE\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221613

Phương pháp giải

a) Chứng minh dựa vào trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác.

b) Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác

c) Để chứng minh \(AN \bot DE\) ta chứng minh tam giác AND là tam giác vuông tại N.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} = {90^ \circ } + \widehat {BAC};\widehat {BAE} = \widehat {EAC} + \widehat {BAC} = {90^ \circ } + \widehat {BAC}\)

Do đó \(\widehat {DAC} = \widehat {BAE}\) (tính chất bắc cầu).

Xét hai tam giác DAC và BAE có:

AD = AB; \(\widehat {DAC} = \widehat {BAE}\); AE = AC.

Do đó \(\Delta DAC = \Delta BAE\) (c.g.c)

b) Do \(\Delta DAC = \Delta BAE\) nên DC = BE(hai cạnh tương ứng), \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc tương ứng).

Gọi I là giao điểm của DC và BE, F là giao điểm của AB và DC.

Xét tam giác ADF ta có: \(\widehat {{D_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}\) (tam giác ADF vuông tại A).

Mà \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}};\,\,\,\,\widehat {{F_1}} = \widehat {{F_2}}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{F_2}} = \widehat {{D_1}} + \widehat {{F_1}} = {90^0}.\)

Xét tam giác BFI có: \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{F_2}} + \widehat {FIB} = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác).

\( \Rightarrow \widehat {FIB} = {90^0}\) hay \(DC \bot BE\) (đpcm).

c. Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta CMA\) ta có:

\(BM = MC\,\,\,\left( {gt} \right);\,\,\widehat {BMK} = \widehat {AMC}\) (hai góc đối đỉnh) và \(AK = MK\,\,\left( {gt} \right).\)

\( \Rightarrow \Delta BMK = \Delta CMA\,\,\,\left( {c.g.c} \right).\)

\( \Rightarrow BK = AC = AE\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {{A_2}} = \widehat K\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {{A_2}};\,\,\widehat K\) là hai góc so le trong nên BK // AC.

Ta có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_3}} = {90^0};\,\,\,\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_4}} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}} = \widehat {DAE} + \widehat {BAC} = {180^0}.\)

\(\widehat {ABK} + \widehat {BAC} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía).

\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {ABK}\,\,\left( { = {{180}^0} - \widehat {ABC}} \right).\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BAK\) có:

\(\begin{array}{l}AD = AE\,\,\left( {gt} \right)\\\widehat {DAE} = \widehat {ABK}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\AE = BK\,\,\,\left( {gt} \right)\\\Rightarrow \Delta ADE = \Delta BAK\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {EDA}\). (Hai góc tương ứng bằng nhau).

Mà \(\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} = {90^{0\,\,\,}}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {{A_3}} + \widehat {EDA} = {90^0}.\)

Xét \(\Delta ADN\) có: \(\widehat {{A_3}} + \widehat {EDA} + \widehat {DNA} = {180^0} \Rightarrow \widehat {DNA} = {90^0}.\)

\( \Rightarrow NK \bot DE\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link