Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(1;2;0)\)và \(B(1;0;-1)\) và mặt phẳng (P) có phương

Câu hỏi số 221934:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(1;2;0)\)và \(B(1;0;-1)\) và mặt phẳng (P) có phương trình \((P):x+2y+z-2=0\). Tìm \(M\in (P)\)sao cho \(\left| MA-MB \right|\)max.

A. \(M\left( \frac{1}{2};0;\frac{3}{2} \right)\)

B. \(M\left( 3;0;-1 \right)\)

C. \(M\left( -1;0;3 \right)\)

D. \(M\left( 0;1;0 \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221934

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \(({{x}_{A}}+2{{y}_{A}}+{{z}_{A}}-2)({{x}_{B}}+2{{y}_{B}}+{{z}_{B}}-2)=(1+2.2+0-2)(1+2.0-1-2)<0\)

Suy ra A, B khác phía với (P)

Gọi A’ là điểm đối xứng của \(A(1;2;0)\) qua \((P):x+2y+z-2=0\)

Gọi H là hình chiếu của A trên (P). Ta có:

\(AH:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {{n_P}} = (1;2;1)\\A(1;2;0)\end{array} \right. \Rightarrow AH:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = t\end{array} \right.\)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = t\\x + 2y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = t\\6t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z = - \frac{1}{2}\\t = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\)

H là trung điểm của AA’. Suy ra h\(A'\left( 0;0;-1 \right)\)

Ta có: \(\left| MA-MB \right|=\left| MA'-MB \right|\le A'B\)\(\Rightarrow {{\max }_{\left| MA-MB \right|}}=A'B\)\(\Rightarrow \) A’,B,M thẳng hàng\(\Rightarrow M=A'B\cap (P)\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'B} \left( {1;0;0} \right)\\B(1;0; - 1)\end{array} \right. \Rightarrow A'B:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 1\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 1\\x + 2y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 1\\t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\\z = - 1\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0; - 1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.