Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \((S):{{\left( x-\frac{4}{3}

Câu hỏi số 221955:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

\((S):{{\left( x-\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{7}{3} \right)}^{2}}=\frac{8}{3}\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x+y+z-3=0.\) Tìm điểm \(M\in (P)\) để từ M kẻ được đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\left( \frac{26}{9};\frac{8}{9};-\frac{7}{9} \right)\)

B. \(M(1;1;1)\)

C. \(M(2;1;0)\)

D. \(M(3;0;0)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221955

Phương pháp giải

Ta có \(M{{N}^{2}}=I{{M}^{2}}-I{{N}^{2}}=I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}\Rightarrow M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow I{{M}_{\min }}\Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I trên (P).

Giải chi tiết

(S) có tâm \(I\left( \frac{4}{3};-\frac{2}{3};-\frac{7}{3} \right)\). MN tiếp xúc với (S) tại N ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IN = R\end{array} \right.\)

Theo định lý Pitago ta có \(M{{N}^{2}}=I{{M}^{2}}-I{{N}^{2}}=I{{M}^{2}}-{{R}^{2}}\Rightarrow M{{N}_{\min }}\Leftrightarrow I{{M}_{\min }}\Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I trên (P).

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot IN\\IN = R\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3} + t\\y = - \frac{2}{3} + t\\z = - \frac{7}{3} + t\\x + y + z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3} + t\\y = - \frac{2}{3} + t\\z = - \frac{7}{3} + t\\3t - \frac{{14}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{26}}{9}\\y = \frac{8}{9}\\z = - \frac{7}{9}\\t = \frac{{14}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{9};\frac{8}{9}; - \frac{7}{9}}\right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.