Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị

Câu hỏi số 222125:

Vận dụng

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \(y=-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}},\,\,{{x}^{2}}+3y=0\) quay quanh trục \(Ox\) là \(V=\frac{a\pi \sqrt{3}}{b},\) với \(a,\,\,b>0\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(T=a+b.\)

A. \(T=33.\)

B. \(T=31.\)

C. \(T=29.\)

D. \(T=27.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222125

Phương pháp giải

Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Giải chi tiết

\({{x}^{2}}+3y=0\Leftrightarrow y=-\frac{{{x}^{2}}}{3}\)

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

\(-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}=-\frac{{{x}^{2}}}{3}\Leftrightarrow 3\sqrt{4-{{x}^{2}}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 0\le {{x}^{2}}\le 4 \\ & {{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-36=0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\pm \,\sqrt{3}.\)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\,\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| {{\left( -\,\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( -\,\frac{{{x}^{2}}}{3} \right)}^{2}} \right|\,\text{d}x.}\)

\(=\pi \int\limits_{-\,\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| \left( 4-{{x}^{2}} \right)-\frac{{{x}^{4}}}{9} \right|\text{d}x}=\left| \pi \left. \left( 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{45} \right) \right|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \right|=2\pi \left( 4\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{5} \right)=\frac{28\pi \sqrt{3}}{5}\)

Vậy \(V=\frac{28\pi \sqrt{3}}{5}=\frac{a\pi \sqrt{3}}{b}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=28 \\ & b=5 \\\end{align} \right.\Rightarrow T=a+b=28+5=33.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.