Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị

Câu hỏi số 222125:

Vận dụng

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \(y=-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}},\,\,{{x}^{2}}+3y=0\) quay quanh trục \(Ox\) là \(V=\frac{a\pi \sqrt{3}}{b},\) với \(a,\,\,b>0\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(T=a+b.\)

A. \(T=33.\)

B. \(T=31.\)

C. \(T=29.\)

D. \(T=27.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222125

Phương pháp giải

Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Giải chi tiết

\({{x}^{2}}+3y=0\Leftrightarrow y=-\frac{{{x}^{2}}}{3}\)

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

\(-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}=-\frac{{{x}^{2}}}{3}\Leftrightarrow 3\sqrt{4-{{x}^{2}}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 0\le {{x}^{2}}\le 4 \\ & {{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-36=0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\pm \,\sqrt{3}.\)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\,\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| {{\left( -\,\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( -\,\frac{{{x}^{2}}}{3} \right)}^{2}} \right|\,\text{d}x.}\)

\(=\pi \int\limits_{-\,\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| \left( 4-{{x}^{2}} \right)-\frac{{{x}^{4}}}{9} \right|\text{d}x}=\left| \pi \left. \left( 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{45} \right) \right|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \right|=2\pi \left( 4\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{5} \right)=\frac{28\pi \sqrt{3}}{5}\)

Vậy \(V=\frac{28\pi \sqrt{3}}{5}=\frac{a\pi \sqrt{3}}{b}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=28 \\ & b=5 \\\end{align} \right.\Rightarrow T=a+b=28+5=33.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.