Kí hiệu \(\left( H \right)\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2\left( x-1

Câu hỏi số 222124:

Vận dụng

Kí hiệu \(\left( H \right)\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2\left( x-1 \right){{e}^{x}},\) trục tung và trục hoành. Thể tích \(V\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là \(V=\left( {{e}^{a}}-b \right)\pi ,\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Tính \(P=2{{a}^{2}}-b.\)

A. \(P=3.\)

B. \(P=5.\)

C. \(P=7.\)

D. \(P=9.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222124

Phương pháp giải

Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( x-1 \right){{e}^{x}}=0\Leftrightarrow x=1\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2\left( x-1 \right){{e}^{x}} \right)}^{\,2}}\text{d}x}=4\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right){{e}^{2x}}\,\text{d}x}.\)

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\{\rm{d}}v = {e^{2x}}\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \left( {2x - 2} \right)\,{\rm{d}}x\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I = \left. {\frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = - \frac{1}{2} - {I_0}\)

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\{\rm{d}}v = {e^{2x}}\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {I_0} = \left. {\frac{{\left( {x - 1} \right){e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = \frac{1}{2} - \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{3 - {e^2}}}{4}.\)

Vậy

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = \frac{{{e^2} - 5}}{4}\, \Rightarrow V = \left( {{e^2} - 5} \right)\pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow P = {2.2^2} - 5 = 3.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.