Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

Câu hỏi số 222127:

Vận dụng cao

Gọi \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x},\,\,y=0\) và \(x=4\) quanh trục \(Ox.\) Đường thẳng \(x=a\,\,\,\left( 0<a<4 \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x}\) tại M (hình vẽ bên). Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng \(V=2{{V}_{1}}.\) Khi đó:

A. \(a=\frac{5}{2}.\)

B. \(a=3.\)

C. \(a=2\sqrt{2}.\)

D. \(a=2.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222127

Phương pháp giải

Tính các thể tích V và V₂. Sử dụng giả thiết V= 2V₂ tìm a.

Giải chi tiết

Vì \(V\) là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x},\,\,y=0\) và \(x=4\) quanh trục \(Ox\Rightarrow \,V=\pi \int\limits_{0}^{4}{{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{4}{x\,\text{d}x}=8\pi \Rightarrow {{V}_{1}}=4\pi .\)

Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(x=a\) và trục hoành. Khi đó \({{V}_{1}}\) là thể tích tạo được khi quay hai tam giác \(OMN\) và \(MNH\) quanh trục \(Ox\) với \(N\) là hình chiếu của \(M\) trên \(OH.\) và \(MN=\sqrt{a}\)

Tam giác OMN xoay quanh trục Ox tạo nên khối nón có bán kính bằng \(\sqrt{a}\) và chiều cao bằng a, tam giác MNH xoay quanh trục Ox tạo nên khối nón có bán kính bằng \(\sqrt{a}\) và chiều cao bằng 4 – a.

Vậy \({{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi a{{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}+\frac{1}{3}\pi \left( 4-a \right){{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=\frac{4\pi }{3}a=4\pi \Rightarrow a=3.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.