Cho tích phân \(I = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left| {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1} \right|{\rm{d}}x} = \dfrac{a}{b},\) với \(\dfrac{a}{b} > 0\) là phân số tối giải. Tính giá trị của biểu.thức \(P = a - 5b.\).

Câu 222297: Cho tích phân \(I = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left| {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1} \right|{\rm{d}}x} = \dfrac{a}{b},\) với \(\dfrac{a}{b} > 0\) là phân số tối giải. Tính giá trị của biểu.thức \(P = a - 5b.\).

A. \(P = 7.\)

B. \(P = 9.\)

C. \(P = 11.\)

D. \(P = 13.\)

Câu hỏi : 222297

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Hoặc trên miền xét ta sẽ đưa tích phân vào trong dấu trị tuyệt đối.

Đáp án : D
(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Cho \(\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\sqrt {x + 1} \left( {x - 1 - \sqrt {x + 1} } \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Ta có \(I = \left| {\int\limits_{ - \,1}^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1} \right]\,{\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} \,{\rm{d}}x} - \,\int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x + 1} \right)\,{\rm{d}}x} } \right|.\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} \,{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow {\rm{d}}x = 2t\,{\rm{d}}t\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\, \Leftrightarrow \,t = 2\\x = - \,1 \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right..\)

Khi đó \({I_1} = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 2} \right)t.2t\,{\rm{d}}t} = \int\limits_0^2 {\left( {2{t^4} - 4{t^2}} \right)\,{\rm{d}}t} = \left. {\left( {\dfrac{{2{t^5}}}{5} - \dfrac{{4{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{32}}{{15}}.\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_2} = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x + 1} \right)\,{\rm{d}}x} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - \,1}^3 = 8.\)

Vậy \(I = \left| {{I_1} - {I_2}} \right| = \left| {\frac{{32}}{{15}} - 8} \right| = \frac{{88}}{{15}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 88\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow P = a - 5b = 13.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.