Cho tích phân \(I = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left| {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1}

Câu hỏi số 222297:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left| {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1} \right|{\rm{d}}x} = \dfrac{a}{b},\) với \(\dfrac{a}{b} > 0\) là phân số tối giải. Tính giá trị của biểu.thức \(P = a - 5b.\).

A. \(P = 7.\)

B. \(P = 9.\)

C. \(P = 11.\)

D. \(P = 13.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222297

Phương pháp giải

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Hoặc trên miền xét ta sẽ đưa tích phân vào trong dấu trị tuyệt đối.

Giải chi tiết

Cho \(\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\sqrt {x + 1} \left( {x - 1 - \sqrt {x + 1} } \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Ta có \(I = \left| {\int\limits_{ - \,1}^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1} \right]\,{\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} \,{\rm{d}}x} - \,\int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x + 1} \right)\,{\rm{d}}x} } \right|.\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} \,{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \Leftrightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow {\rm{d}}x = 2t\,{\rm{d}}t\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\, \Leftrightarrow \,t = 2\\x = - \,1 \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right..\)

Khi đó \({I_1} = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 2} \right)t.2t\,{\rm{d}}t} = \int\limits_0^2 {\left( {2{t^4} - 4{t^2}} \right)\,{\rm{d}}t} = \left. {\left( {\dfrac{{2{t^5}}}{5} - \dfrac{{4{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{32}}{{15}}.\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_2} = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x + 1} \right)\,{\rm{d}}x} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - \,1}^3 = 8.\)

Vậy \(I = \left| {{I_1} - {I_2}} \right| = \left| {\frac{{32}}{{15}} - 8} \right| = \frac{{88}}{{15}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 88\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow P = a - 5b = 13.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.