Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x} = a.{e^{ - \,1}} + b,\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỷ.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Câu 222320: Cho tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x} = a.{e^{ - \,1}} + b,\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỷ.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. \(a - b < 1.\)

B. \({a^2} - 3{b^2} < 0.\)

C. \(a - 3ab = 1.\)

D. \(2a + 3b = 1.\)

Câu hỏi : 222320

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}\) với \(x \in \left[ {0;1} \right],\) có \(f'\left( x \right) = x - 1 + {e^{ - \,x}} \Rightarrow f''\left( x \right) = 1 - {e^{ - \,x}} \ge 0;\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)

\( \Rightarrow \) \(f'\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f'\left( x \right) \ge f'\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)

\( \Rightarrow \) \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right].\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + 1 - {e^{ - \,x}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{6} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + {e^{ - \,x}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{3}\)

Mặt khác \(I = a.{e^{ - \,1}} + b = {e^{ - \,1}} - \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \frac{1}{3}\end{array} \right..\)

Vậy \(2a + 3b = 1.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.