Tính tổng \(S\left( n \right) = 1.1! + 2.2! + ........... + n.n!\). Khi đó S(2017) = ?
Câu 222772: Tính tổng \(S\left( n \right) = 1.1! + 2.2! + ........... + n.n!\). Khi đó S(2017) = ?
A. 2017!
B. 2018!
C. 2018! – 1
D. 2017! – 1
Quảng cáo
Dự đoán công thức tính tồng S(n) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
-
Đáp án : C(9) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Cách giải:
Ta có S(1) = 1 = 2 ! – 1
S(2) = 1.1 ! + 2.2 ! = 5 = 3 ! – 1
S(3) = 1.1 ! + 2.2 ! + 3.3 ! = 23 = 4 ! – 1
Dự đoán S(2017) = 2018 ! – 1 (*) \(\forall n \in N*\).
Ta chứng minh (*) đúng \(\forall n \in N*\) bằng phương pháp quy nạp toán học.
Đương nhiên (*) đúng khi n = 1.
Giả sử (*) đúng đến n = k, khi đó ta có S(k) = (k + 1)! – 1
Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh S(k+1) = (k+2)! – 1
Theo giả thiết ta có: \(S\left( {k + 1} \right) = 1.1! + 2.2! + ........... + k.k! + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = S\left( k \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!\)
Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có S(k) = (k + 1)! – 1.
Khi đó \(S\left( {k + 1} \right) = \left( {k + 1} \right)! - 1 + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 1 + 1} \right) - 1 = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 2} \right) - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1\)
Vậy (*) đúng đến n = k + 1 hay S(2017) = 2018 ! – 1 \(\forall n \in N*\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com