Tổng \(S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {11...111}_{n\,số\,1}\) là :

Câu 222782: Tổng \(S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {11...111}_{n\,số\,1}\) là :

A. \(S = \frac{{10}}{{81}}\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) - \frac{n}{9}\)

B. \(S = \frac{{10}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) + \frac{n}{9}\)

C. \(S = \frac{1}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{n}{9}\)

D. \(S = \frac{{10}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{n}{9}\)

Câu hỏi : 222782

Phương pháp giải:

Phân tích để làm xuất hiện tổng của cấp số nhân sau đó áp dụng công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {11...111}_{n\,so\,1}\\S = 1 + \left( {{{10}^1} + 1} \right) + \left( {{{10}^2} + {{10}^1} + 1} \right) + ...\left( {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + {{10}^1} + 1} \right)\\S = 1 + \left( {1 + {{10}^1}} \right) + \left( {1 + {{10}^1} + {{10}^2}} \right) + ... + \left( {1 + {{10}^1} + {{10}^2} + ... + {{10}^{n - 1}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\) ta có :

\(\begin{array}{l}1 + {10^1} = \frac{{1 - {{10}^2}}}{{1 - 10}} = \frac{{1 - {{10}^2}}}{{ - 9}}\\1 + 10 + {10^2} = \frac{{1 - {{10}^3}}}{{ - 9}}\\1 + 10 + {10^2} + {10^3} = \frac{{1 - {{10}^4}}}{{ - 9}}\\...\\1 + 10 + ... + {10^{n - 1}} = \frac{{1 - {{10}^n}}}{{ - 9}}\\ \Rightarrow S = 1 + \left( {1 + {{10}^1}} \right) + \left( {1 + {{10}^1} + {{10}^2}} \right) + ... + \left( {1 + {{10}^1} + {{10}^2} + ... + {{10}^{n - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \frac{{1 - {{10}^2}}}{{ - 9}} + \frac{{1 - {{10}^3}}}{{ - 9}} + ... + \frac{{1 - {{10}^n}}}{{ - 9}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{9}\left( {\underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{n - 1\,so\,1} - \left( {{{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^n}} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{9}\left( {n - 1 - \frac{{{{10}^2}\left( {1 - {{10}^{n - 1}}} \right)}}{{1 - 10}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{9}n + \frac{1}{9} + \frac{{100\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right)}}{{81}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{100\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right)}}{{81}} + \frac{{10}}{9} - \frac{n}{9}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 10} \right)}}{{81}} + \frac{{90}}{{81}} - \frac{n}{9}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 10 + 9} \right)}}{{81}} - \frac{n}{9}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{{81}} - \frac{n}{9}\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.