Tổng \(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\) là một số chia hết cho:
Câu 226009: Tổng \(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\) là một số chia hết cho:
A. \(21\)
B. \(41\)
C. \(51\)
D. \(31\)
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)
-
Đáp án : D(13) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\) là tổng của 5n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có \({u_1} = 1\) và q = 2.
\( \Rightarrow S = {S_{5n}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{5n}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {2^{5n}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{5n}} - 1 = {32^n} - 1\)
Với n = 0 ta có \(S = {32^0} - 1 = 0\)
Với n = 1 ta có \(S = 32 - 1 = 31\) chia hết cho 31.
Ta chứng minh S chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp toán học.
Hiển nhiên đúng với n = 1.
Giả sử \({32^k} - 1\) chia hết cho 31, ta chứng minh \({32^{k + 1}} - 1\) cũng chia hết cho 31.
Ta có \({32^{k + 1}} - 1 = {32^k}.32 - 1 = \left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31\)
Ta có \({32^k} - 1\) chia hết cho 31 \( \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right).32} \right]\,\, \vdots \,31 \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31} \right]\,\, \vdots \,31\)
Vậy \({32^n} - 1\) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
