Tổng \(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\) là một số chia hết cho:

Câu hỏi số 226009:

Thông hiểu

A. \(21\)

B. \(41\)

C. \(51\)

D. \(31\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226009

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết

\(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\) là tổng của 5n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có \({u_1} = 1\) và q = 2.

\( \Rightarrow S = {S_{5n}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{5n}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {2^{5n}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{5n}} - 1 = {32^n} - 1\)

Với n = 0 ta có \(S = {32^0} - 1 = 0\)

Với n = 1 ta có \(S = 32 - 1 = 31\) chia hết cho 31.

Ta chứng minh S chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp toán học.

Hiển nhiên đúng với n = 1.

Giả sử \({32^k} - 1\) chia hết cho 31, ta chứng minh \({32^{k + 1}} - 1\) cũng chia hết cho 31.

Ta có \({32^{k + 1}} - 1 = {32^k}.32 - 1 = \left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31\)

Ta có \({32^k} - 1\) chia hết cho 31 \( \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right).32} \right]\,\, \vdots \,31 \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31} \right]\,\, \vdots \,31\)

Vậy \({32^n} - 1\) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.