`

Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Tổng \(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\)  là một số chia hết cho:

Câu 226009: Tổng \(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\)  là một số chia hết cho:

A. \(21\)                                           

B. \(41\)                                     

C. \(51\)                                    

D. \(31\)

Câu hỏi : 226009

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

  • Đáp án : D
    (4) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    \(S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{5n - 1}}\) là tổng của 5n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có \({u_1} = 1\)  và q = 2.

    \( \Rightarrow S = {S_{5n}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{5n}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {2^{5n}}} \right)}}{{1 - 2}} = {2^{5n}} - 1 = {32^n} - 1\)

    Với n = 0 ta có \(S = {32^0} - 1 = 0\)

    Với n = 1 ta có \(S = 32 - 1 = 31\) chia hết cho 31.

    Ta chứng minh S chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n  bằng phương pháp quy nạp toán học.

    Hiển nhiên đúng với n = 1.

    Giả sử \({32^k} - 1\) chia hết cho 31, ta chứng minh \({32^{k + 1}} - 1\) cũng chia hết cho 31.

    Ta có \({32^{k + 1}} - 1 = {32^k}.32 - 1 = \left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31\)

    Ta có \({32^k} - 1\) chia hết cho 31 \( \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right).32} \right]\,\, \vdots \,31 \Rightarrow \left[ {\left( {{{32}^k} - 1} \right)32 + 31} \right]\,\, \vdots \,31\)

    Vậy \({32^n} - 1\) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên n.

    Chọn D.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay

Hỗ trợ - HƯớng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com