Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có u₁ = 2, công bội dương và biểu thức \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + {u_{13}} + ... + {u_{20}}\)

Câu 226016: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có u₁ = 2, công bội dương và biểu thức \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + {u_{13}} + ... + {u_{20}}\)

A. \(S = 2046\)

B. \(S = 2097150\)

C. \(S = 2095104\)

D. \(S = 1047552\)

Câu hỏi : 226016

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Tìm GTNN của biểu thức \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\), từ đó suy ra công bội q.

+) \(S = {S_{20}} - {S_{10}}\)

+) Sử dụng công thức tổng k số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_k} = \frac{{{a_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}}\)

Đáp án : C
(11) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi q là công bội của cấp số nhân (q > 0).

Ta có \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}} = 2{q^3} + \frac{{1024}}{{{u_1}{q^6}}} = 2{q^3} + \frac{{512}}{{{q^6}}} = {q^3} + {q^3} + \frac{{512}}{{{q^6}}} \ge 3\sqrt[3]{{{q^3}.{q^3}.\frac{{512}}{{{q^6}}}}} = 24\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\) bằng 24, đạt được khi và chỉ khi \({q^3} = \frac{{512}}{{{q^6}}} \Leftrightarrow {q^9} = 512 \Leftrightarrow q = 2\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}{S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2046\\{S_{20}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left( {1 - {2^{20}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2097150\\\Rightarrow {u_{11}} + {u_{12}} + {u_{13}} + ... + {u_{20}} = 2097150 - 2046 = 2095104\end{array}\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.