Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có u1 = 2, công bội dương và biểu thức \({u_4} +

Câu hỏi số 226016:

Vận dụng cao

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có u₁ = 2, công bội dương và biểu thức \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + {u_{13}} + ... + {u_{20}}\)

A. \(S = 2046\)

B. \(S = 2097150\)

C. \(S = 2095104\)

D. \(S = 1047552\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226016

Phương pháp giải

+) Tìm GTNN của biểu thức \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\), từ đó suy ra công bội q.

+) \(S = {S_{20}} - {S_{10}}\)

+) Sử dụng công thức tổng k số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({S_k} = \frac{{{a_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết

Gọi q là công bội của cấp số nhân (q > 0).

Ta có \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}} = 2{q^3} + \frac{{1024}}{{{u_1}{q^6}}} = 2{q^3} + \frac{{512}}{{{q^6}}} = {q^3} + {q^3} + \frac{{512}}{{{q^6}}} \ge 3\sqrt[3]{{{q^3}.{q^3}.\frac{{512}}{{{q^6}}}}} = 24\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \({u_4} + \frac{{1024}}{{{u_7}}}\) bằng 24, đạt được khi và chỉ khi \({q^3} = \frac{{512}}{{{q^6}}} \Leftrightarrow {q^9} = 512 \Leftrightarrow q = 2\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}{S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2046\\{S_{20}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left( {1 - {2^{20}}} \right)}}{{1 - 2}} = 2097150\\\Rightarrow {u_{11}} + {u_{12}} + {u_{13}} + ... + {u_{20}} = 2097150 - 2046 = 2095104\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.